Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
М

Предельный переход в неравенстве

Сохранение знака неравенства при переходе к пределам.

Пусть даны две последовательности и . сходится к , а к .

Теорема

Если выполняется неравенство

то

Доказательство

Доказывать будем от противного. Пусть

По условию известно, что

По определению предела это означает, что

Это означает, что для любого положительного найдется такое , что для любого следующего за номера выполняется неравенство .

Значит и для положительного числа найдется такое , что для всех членов за ним будет выполняться неравенство:

Проводя аналогичные рассуждения для предела , найдется такое, что для всех членов за ним будет выполняться неравенство

Выбираем максимальное из и . Для такого максимального будут одновременно выполняться два неравенства:

Сложим оба неравенства друг с другом:

Воспользовавшись свойствами модулей, усилим неравенство:

Пояснение усиления

Итак, имеем

Есть свойство модулей:

Используем это свойство для первого слагаемого в неравенстве выше:

Есть еще одно свойство модулей:

Воспользуемся этим свойством для усиления неравенства:

Разобьем это неравенство на два по прото-задаче П-ссылка:

Рассмотрим первое неравенство:

Вычтем из обеих частей :

Но по условию . Итак, получаем два противоречащих друг другу неравенства:

Итак, мы предположили, что и получили противоречие. А значит верно исходное предположение, то есть

Зависимые задачи