Связь наибольшего и наименьшего частичных пределов

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

Посмотреть все темы!

ВышматПрото-задачиПредел последовательности

└─

└─

└─

└─

└─

Предел последовательности

└─

Связь наибольшего и наименьшего частичных пределов

В обеих теоремах ниже речь идет о конечных наибольшем и наименьшем пределах!

Теорема

$\underline{n \to \infty lim} x_{n} = - \overline{n \to \infty lim} (- x_{n})$

Доказательство

Пусть $n \to \infty lim x_{p_{n}} = a$ , то есть $a$ — предельная точка $x_{n}$ . Тогда

$n \to \infty lim - x_{p_{n}} = - n \to \infty lim x_{p_{n}} = - a$

Мы показали, что если $a$ — предельная точка $x_{n}$ , то $- a$ — предельная точка $- x_{n}$ .

Пусть $n \to \infty lim - x_{p_{n}} = b$ , то есть $b$ — предельная точка $- x_{n}$ . Тогда

$n \to \infty lim x_{p_{n}} = n \to \infty lim - (- x_{p_{n}}) = - n \to \infty lim (- x_{p_{n}}) = - b$

Мы показали, что если $b$ — предельная точка $x_{n}$ , то $- b$ — предельная точка $x_{n}$ .

Итак, рассмотрим теперь наименьший предел $x_{n}$ :

$\underline{n \to \infty lim} x_{n} = M$

Тогда $- M$ — предельная точка $- x_{n}$ . Пусть $- M$ не наибольший частичный предел $- x_{n}$ . Значит, есть какая-то большая предельная точка $M^{'}$ последовательности $- x_{n}$ :

$- M < M^{'}$

Но $- M^{'}$ — предельная точка $x_{n}$ и, так как $M$ — наименьший предел $x_{n}$ :

$M < - M^{'}$

Сложим два этих неравенства:

$M - M < M^{'} - M^{'}$

$0 < 0$

Получили противоречие. Значит наше предположение, что существует какая-то предельная точка $M^{'}$ , которая больше $- M$ было неверным. Значит

$- M = \overline{n \to \infty lim} (- x_{n})$

Умножаем обе части на $- 1$ :

$M = - \overline{n \to \infty lim} (- x_{n})$

$\underline{n \to \infty lim} x_{n} = - \overline{n \to \infty lim} (- x_{n})$

$■$

Теорема

Если $x_{n} \geq 0, \underline{n \to \infty lim} x_{n} > 0$ и $\overline{n \to \infty lim} \frac{1}{x _{n}} > 0$ , то

$\underline{n \to \infty lim} x_{n} = \frac{1}{n \to \infty lim \frac{1}{x _{n}}}$

Доказательство

Пусть $n \to \infty lim x_{p_{n}} = a$ , то есть $a$ — предельная точка $x_{n}$ . Тогда

$n \to \infty lim \frac{1}{x _{p_{n}}} = \frac{n \to \infty lim 1}{n \to \infty lim x _{p_{n}}} = \frac{1}{a}$

Мы показали, что если $a$ — предельная точка $x_{n}$ , то $\frac{1}{a}$ — предельная точка $f r a c 1 x_{n}$ .

Пусть $n \to \infty lim \frac{1}{x _{p_{n}}} = b$ , то есть $b$ — предельная точка $\frac{1}{x _{p_{n}}}$ . Тогда

$n \to \infty lim x_{p_{n}} = n \to \infty lim \frac{1}{\frac{1}{x _{p_{n}}}} = \frac{n \to \infty lim 1}{n \to \infty lim \frac{1}{x _{p_{n}}}} = \frac{1}{b}$

Мы показали, что если $b$ — предельная точка $\frac{1}{x _{n}}$ , то $\frac{1}{b}$ — предельная точка $x_{n}$ .

Итак, рассмотрим теперь наименьший предел $x_{n}$ :

$\underline{n \to \infty lim} x_{n} = M$

Тогда $\frac{1}{M}$ — предельная точка $\frac{1}{x _{n}}$ . Пусть $\frac{1}{M}$ не наибольший частичный предел $\frac{1}{x _{n}}$ . Значит, есть какая-то большая предельная точка $M^{'}$ последовательности $\frac{1}{x _{n}}$ :

$\frac{1}{M} < M^{'}$

Но $\frac{1}{M ^{'}}$ — предельная точка $x_{n}$ и, так как $M$ — наименьший предел $x_{n}$ :

$M < \frac{1}{M ^{'}}$

Умножим эти неравенства друг на друга (знак неравенства не поменяется, так как все члены положительные):

$M \cdot \frac{1}{M} < M^{'} \cdot \frac{1}{M ^{'}}$

$1 < 1$

Получили противоречие. Значит наше предположение, что существует какая-то предельная точка $M^{'}$ , которая больше $\frac{1}{M}$ было неверным. Значит

$\frac{1}{M} = \overline{n \to \infty lim} \frac{1}{x _{n}}$

«Перевернем» дроби:

$M = \frac{1}{n \to \infty lim \frac{1}{x _{n}}}$

$\underline{n \to \infty lim} x_{n} = n \to \infty lim x$

class="pstrut" style="height:2.5em;">n11

$■$

Зависимые задачи

132 134 135