Задача 134 — Демидович

Доказать, что если для некоторой последовательности $x_{n} (n = 1, 2, \dots)$ , какова бы ни была последовательность $y_{n} (n = 1, 2, \dots)$ , имеет место по меньшей мере одно из равенств:

$а) \overline{n \to \infty lim} (x_{n} + y_{n}) = \overline{n \to \infty lim} x_{n} + \overline{n \to \infty lim} y_{n}$

или

$б) \overline{n \to \infty lim} (x_{n} y_{n}) = \overline{n \to \infty lim} x_{n} \cdot \overline{n \to \infty lim} y_{n} (x_{n} \geq 0),$

то последовательность $x_{n}$ — сходящаяся.

Петр Радько

Решение

Если выполняется а)

Рассмотрим тогда последовательность $y_{n} = - x_{n}$ , тогда

$\overline{n \to \infty lim} (x_{n} - x_{n}) = \overline{n \to \infty lim} 0 = 0 = \overline{n \to \infty lim} x_{n} + \overline{n \to \infty lim} (- x_{n})$

$- \overline{n \to \infty lim} (- x_{n}) = \overline{n \to \infty lim} x_{n}$

Воспользуемся прото-задачей П-ссылка:

$= \underline{n \to \infty l i m} x_{n} - \overline{n \to \infty lim} (- x_{n}) = \overline{n \to \infty lim} x_{n}$

Итак

$\underline{n \to \infty lim} x_{n} = \overline{n \to \infty lim} x_{n}$

Мы показали, что у $x_{n}$ есть только одна предельная точка. По прото-задаче П-ссылка это означает, что $x_{n}$ сходится.

$■$

Если выполняется б)

Рассмотрим последовательность $y_{n} = \frac{1}{x _{n}}$ , тогда

$\overline{n \to \infty lim} (x_{n} \cdot \frac{1}{x _{n}}) = \overline{n \to \infty lim} 1 = 1 = \overline{n \to \infty lim} x_{n} \cdot \overline{n \to \infty lim} \frac{1}{x _{n}}$

$\frac{1}{n \to \infty lim \frac{1}{x _{n}}} = \overline{n \to \infty lim} x_{n}$

Воспользуемся прото-задачей П-ссылка:

$= \underline{n \to \infty l i m} x_{n} \frac{1}{n \to \infty lim \frac{1}{x _{n}}} = \overline{n \to \infty lim} x_{n}$

Итак

$\underline{n \to \infty lim} x_{n} = \overline{n \to \infty lim} x_{n}$

$■$

Зависимости

Единственность предельной точки

Связь наибольшего и наименьшего частичных пределов

133 135