Задача 135 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Доказать, что если $x_{n} > 0 (n = 1, 2, \dots)$ и

$\overline{n \to \infty lim} x_{n} \cdot \overline{n \to \infty lim} \frac{1}{x _{n}} = 1,$

то последовательность $x_{n}$ — сходящаяся.

Решение

Делим обе части равенства на $\overline{n \to \infty lim} \frac{1}{x _{n}}$ :

$\overline{n \to \infty lim} x_{n} = \frac{1}{n \to \infty lim \frac{1}{x _{n}}}$

По прото-задаче П-ссылка

$\overline{n \to \infty lim} x_{n} = = \underline{n \to \infty l i m} x_{n} \frac{1}{n \to \infty lim \frac{1}{x _{n}}}$

$\overline{n \to \infty lim} x_{n} = \underline{n \to \infty lim} x_{n}$

Мы показали, что у $x_{n}$ есть только одна предельная точка, а это, по прото-задаче П-ссылка означает, что $x_{n}$ сходится.

Зависимости