Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Т

Связь наибольшего и наименьшего частичных пределов

В обеих теоремах ниже речь идет о конечных наибольшем и наименьшем пределах!

Теорема

Доказательство

Пусть , то есть — предельная точка . Тогда

Мы показали, что если — предельная точка , то — предельная точка .

Пусть , то есть — предельная точка . Тогда

Мы показали, что если — предельная точка , то — предельная точка .

Итак, рассмотрим теперь наименьший предел :

Тогда — предельная точка . Пусть не наибольший частичный предел . Значит, есть какая-то большая предельная точка последовательности :

Но — предельная точка и, так как — наименьший предел :

Сложим два этих неравенства:

Получили противоречие. Значит наше предположение, что существует какая-то предельная точка , которая больше было неверным. Значит

Умножаем обе части на :

Теорема

Если и , то

Доказательство

Пусть , то есть — предельная точка . Тогда

Мы показали, что если — предельная точка , то — предельная точка .

Пусть , то есть — предельная точка . Тогда

Мы показали, что если — предельная точка , то — предельная точка .

Итак, рассмотрим теперь наименьший предел :

Тогда — предельная точка . Пусть не наибольший частичный предел . Значит, есть какая-то большая предельная точка последовательности :

Но — предельная точка и, так как — наименьший предел :

Умножим эти неравенства друг на друга (знак неравенства не поменяется, так как все члены положительные):

Получили противоречие. Значит наше предположение, что существует какая-то предельная точка , которая больше было неверным. Значит

«Перевернем» дроби:

Зависимые задачи