Задача 1 — Демидович

Демидович

Ничего не нашлось!

Попробуйте переформулировать запрос.

Вы можете предложить добавить решение/материал.

Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

Посмотреть все темы!

I§1Метод математической индукции

└─

└─

└─

I. Введение в анализ

└─

§1. Вещественные числа

└─

Метод математической индукции

└─

Задача 1

Нормальная

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа

n

справедливы следующие равенства:

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

1

Петр Радько

Указание

В индукционном переходе прибавить к равенству с обеих сторон $k + 1$ и преобразовать его правую часть.

Решение

Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть $n = 1$ . Получаем

$1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$

Индукционный переход

Предположим, что доказываемое равенство выполняется для суммы первых $k$ натуральных чисел:

$1 + 2 + \dots + k = \frac{k ( k + 1 )}{2}$

К обеим частям равенства прибавляем $k + 1$ :

$1 + 2 + \dots + k + (k + 1) = \frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1)$

Приводим правую часть равенства к общему знаменателю и выносим за скобки $k + 1$ :

$\frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1) = \frac{( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 )}{2}$

С учетом обновленной правой части получаем следующее равенство:

$1 + 2 + \dots + k + (k + 1) = \frac{( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 )}{2}$

Итак, мы из равенства для $k$ вывели равенство для $k + 1$ . Индукционный переход доказан. Значит, равенство из условия выполняется для любых натуральных чисел.

$■$