Метод математической индукции

$$1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$1^2+2^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$1^3+2^3+\dots +n^3=(1+2+3+\dots +n{)}^2$$

$$1+2+2^2+\dots +2^{n-1}=2^n-1$$

Пусть

$$a^{\left[n\right]}=a(a-h)\dots \left[a-(n-1)h\right]\text{ и }{a}^{\left[0\right]}=1.$$

Доказать, что

$$(a+b{)}^{\left[n\right]}=\sum _{m=0}^n{C}_n^m{a}^{\left[n-m\right]}{b}^{\left[m\right]},$$

где $C_n^m$ — число сочетаний из $n$ элементов по $m$. Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.

Доказать неравенство Бернулли:

$$(1+x_1)(1+x_2)\dots (1+x_n)⩾1+x_1+x_2+\dots +x_n,$$

где $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — числа одного и того же знака, большие $-1$.

Доказать, что если $x>-1$, то справедливо неравенство

$$(1+x{)}^n⩾1+nx(n>1),$$

причем знак равенства имеет место лишь при $x=0$.

Доказать неравенство

$$n!<{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n\text{ при }n>1$$

Доказать неравенство:

$$\begin{gathered} \text{а) }2!\cdot 4!\dots (2n)!>{\left[(n+1)!\right]}^n\text{ при }n>1 \\ \text{б) }\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}} \end{gathered}$$

Доказать неравенства:

$$\text{а) }1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}(n⩾2);$$

$$\text{б) }{n}^{n+1}>(n+1{)}^n(n⩾3);$$

$$\text{в) }\left|\sin \left(\sum _{k=1}^n{x}_k\right)\right|⩽\sum _{k=1}^n\sin x_k(0⩽x_k⩽\pi ;k=1,2,\dots ,n);$$

$$\text{г) }(2n)!<2^{2n}(n!{)}^2$$