Задача 100 — Демидович

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Найти наименьший член последовательности

x_{n} (n = 1, 2, \dots)

, если:

$x_{n} = n + \frac{100}{n}$

Ответ

Наименьший член последовательности является $x_{10}$ :

$x_{n} \geq x_{10} = 20$

Указание

Докажите неравенство

$x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0$

Воспользуйтесь им для решения задачи.

Решение

x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0

В левой части приведем к общему знаменателю:

$\frac{x ^{2} + 1}{x} \geq 2$

Домножим обе части неравенства на $x$ :

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

$x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$

$(x - 1)^{2} \geq 0$

Последнее неравенство всегда выполняется, так как слева число в квадрате, а квадрат любого числа $\geq 0$ .

Итак, мы доказали, что

$x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0$

$■$

Рассмотрим произвольный член последовательности $x_{n}$ :

$x_{n} = n + \frac{100}{n}$ Вынесем $10$ за скобки:

$x_{n} = 10 (\frac{n}{10} + \frac{10}{n})$

Для скобки воспользуемся доказанным выше вспомогательным свойством:

$x_{n} = 10 (\frac{n}{10} + \frac{10}{n}) \geq 10 \cdot 2 = 20$

Итак,

$x_{n} \geq 20$

Но $x_{10} = 20$ , поэтому он и является наименьшим членом последовательности $x_{n}$ :

$x_{n} \geq x_{10} = 20$