100 | Демидович. Решения

Демидович

Введен некорректный запрос!
Можно вводить только числа от 1 до 4462.
Буквы и другие символы не допускаются!

Эта задача еще не добавлена!
Предложите свое решение!
Можете финансово поддержать проект.

К РЕШЕНИЮ

100

IВведение в анализ

§2Теория последовательностей Грани и наибольшие/наименьшие частичные пределы

Найти наименьший член последовательности $x_{n} (n = 1, 2, \dots)$ , если:

$x_{n} = n + \frac{1 0 0}{n}$

Ответ

Наименьший член последовательности является $x_{10}$ :

$x_{n} \geq x_{10} = 20$

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!

Указание

Докажите неравенство

$x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0$

Воспользуйтесь им для решения задачи.

Решение

x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0

В левой части приведем к общему знаменателю:

$\frac{x ^{2} + 1}{x} \geq 2$

Домножим обе части неравенства на $x$ :

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

$x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$

$(x - 1)^{2} \geq 0$

Последнее неравенство всегда выполняется, так как слева число в квадрате, а квадрат любого числа $\geq 0$ .

Итак, мы доказали, что

$x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0$

$■$

Рассмотрим произвольный член последовательности $x_{n}$ :

$x_{n} = n + \frac{1 0 0}{n}$ Вынесем $10$ за скобки:

$x_{n} = 10 (\frac{n}{1 0} + \frac{1 0}{n})$

Для скобки воспользуемся доказанным выше вспомогательным свойством:

$x_{n} = 10 (\frac{n}{1 0} + \frac{1 0}{n}) \geq 10 \cdot 2 = 20$

Итак,

$x_{n} \geq 20$

Но $x_{10} = 20$ , поэтому он и является наименьшим членом последовательности $x_{n}$ :

$x_{n} \geq x_{10} = 20$

Не разобрались?

Спросить

Все поняли?

Поддержать

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!