Каждый член последовательности $x_n$ равен значению квадратичной функции

$$n^2-9n-100$$

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Получим вершину этой параболы:

$$-\frac{b}{2a}=-\frac{-9}{2}=4.5$$

Так как $4.5$ — не натуральное число, ближайшие к этой вершине члены последовательности с номерами $4$ и $5$. Из свойств параболы, значения элементов, расположенных на одинаковом расстоянии от вершины, равны, поэтому

$$x_4=x_5$$

Эти два элемента и являются наименьшими членами последовательности $x_n$, так как они находятся ближе всего к ее вершине ($4.5$).

$$x_4=x_5=16-36-100=-120$$

Найдем промежутки, на которых последовательность $x_n$ убывает, то есть когда разница между следующим членом $x_{n+1}$ и текущим $x_n$ меньше $0$:

$$\begin{gathered} x_{n+1}-x_n<0 \\ (n+1{)}^2-9(n+1)-100-n^2+9n+100<0 \\ {n}^2+2n+1-9n-9-100-n^2+9n+100<0 \end{gathered}$$

$$2n-8<0$$

Видно, что при $n=1,2,3$ последовательность $x_n$ строго убывает.

При $n=4$ имеем:

$$\begin{gathered} x_5-x_4=2\cdot 4-8=0 \\ {x}_5=x_4 \end{gathered}$$

При $n>4$ последовательность строго возрастает.

Значит, у последовательности есть два наименьших члена:

$$x_4=x_5=-120$$