Рассмотрим подпоследовательность с четными $n$:

$$x_{2n}=\frac{{\left((-1{)}^2\right)}^n}{2n}+\frac{1+{\left((-1{)}^2\right)}^n}{2}=\frac{1}{2n}+1$$

$$x_{2n}=\frac{1}{2n}+1$$

Рассмотрим последовательность с нечетными $n$:

$$x_{2n-1}=\frac{\frac{{\left((-1{)}^2\right)}^n}{(-1)}}{2n-1}+\frac{1+\frac{{\left((-1{)}^2\right)}^n}{(-1)}}{2}=-\frac{1}{2n-1}$$

$$x_{2n-1}=-\frac{1}{2n-1}$$

Замечаем, что $x_{2n}$ состоит из положительных чисел, а значит нужно искать $\sup x_n$ именно там.

Так как $n$ — натуральное число, то

$$n\ge 1$$

Делим обе части на $2n$:

$$\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2n}$$

Добавим к обеим частям $1$:

$$1\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2n}+1=x_{2n}$$

Но $x_{2\cdot 1}=x_2=1\frac{1}{2}$, поэтому $x_2$ — наибольший член подпоследовательности $x_{2n}$, а значит и всей последовательности $x_n$:

$$\sup x_n=x_2=1\frac{1}{2}$$

Замечаем, что $x_{2n-1}$ состоит из положительных чисел, а значит нужно искать $\inf x_n$ именно там.

Так как $n$ — натуральное число, то

$$n\ge 1$$

Умножим обе части на $2$ и вычтем $1$:

$$2n-1\ge 1$$

Поделим обе части на $2n-1$:

$$1\ge \frac{1}{2n-1}$$

Уножим обе части на $-1$:

$$-1\le -\frac{1}{2n-1}=x_{2n-1}$$

Но $x_{2\cdot 1-1}=x_1=-1$, поэтому $x_1$ — наименьший член подпоследовательности $x_{2n-1}$, а значит и всей последовательности $x_n$:

$$\inf x_n=x_1=-1$$

Найдем частичные пределы подпоследовательностей $x_{2n}$ и $x_{2n-1}$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2n}+1\right)=\frac{1}{2}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\right)+1=\frac{1}{2}\cdot 0+1=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=1$$

Выше мы использовали то, что $\frac{1}{n}\to 0$ (см. прото-задачу П.10).

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }-\left(\frac{1}{2n-1}\right)=-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n-1}$$

Последовательность $\frac{1}{2n-1}$ "зажимаем" между $0$ и $\frac{1}{n}$:

$$0\le \frac{1}{2n-1}\le \frac{1}{n}$$

"Последовательность" из $0$ стремится к $0$, как и последовательность $\frac{1}{n}$ (см. прото-задачу "Элементарные пределы последовательностей"). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность $\frac{1}{2n-1}$ тоже стремится к $0$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n-1}=0$$

Возвращаемся к пределу $x_{2n-1}$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n-1}=-0=0$$

Итак, мы нашли две предельные точки $x_n$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=0$$

Так как любой член последовательности $x_n$ лежит либо в $x_{2n}$, либо в $x_{2n-1}$, то, по прото-задаче П.22 других предельных точек у $x_n$ нет.

А значит

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=1$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=0$$