Демидович
102

Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Рассмотрим подпоследовательность с четными :

Рассмотрим последовательность с нечетными :

Замечаем, что состоит из положительных чисел, а значит нужно искать именно там.

Так как — натуральное число, то

Делим обе части на :

Добавим к обеим частям :

Но , поэтому — наибольший член подпоследовательности , а значит и всей последовательности :

Замечаем, что состоит из положительных чисел, а значит нужно искать именно там.

Так как — натуральное число, то

Умножим обе части на и вычтем :

Поделим обе части на :

Уножим обе части на :

Но , поэтому — наименьший член подпоследовательности , а значит и всей последовательности :

Найдем частичные пределы подпоследовательностей и :

Выше мы использовали то, что (см. прото-задачу П.10).

Последовательность "зажимаем" между и :

"Последовательность" из стремится к , как и последовательность (см. прото-задачу "Элементарные пределы последовательностей"). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность тоже стремится к .

Возвращаемся к пределу :

Итак, мы нашли две предельные точки :

Так как любой член последовательности лежит либо в , либо в , то, по прото-задаче П.22 других предельных точек у нет.

А значит

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.