Для последовательности найти , , и , если:
Рассмотрим подпоследовательность с четными :
Рассмотрим последовательность с нечетными :
Замечаем, что состоит из положительных чисел, а значит нужно искать именно там.
Так как — натуральное число, то
Делим обе части на :
Добавим к обеим частям :
Но , поэтому — наибольший член подпоследовательности , а значит и всей последовательности :
Замечаем, что состоит из положительных чисел, а значит нужно искать именно там.
Так как — натуральное число, то
Умножим обе части на и вычтем :
Поделим обе части на :
Уножим обе части на :
Но , поэтому — наименьший член подпоследовательности , а значит и всей последовательности :
Найдем частичные пределы подпоследовательностей и :
Выше мы использовали то, что (см. прото-задачу П.10).
Последовательность "зажимаем" между и :
"Последовательность" из стремится к , как и последовательность (см. прото-задачу "Элементарные пределы последовательностей"). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность тоже стремится к .
Возвращаемся к пределу :
Итак, мы нашли две предельные точки :
Так как любой член последовательности лежит либо в , либо в , то, по прото-задаче П.22 других предельных точек у нет.
А значит