Элементарные пределы последовательностей

Распишем по определению:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^a}=0\iff \forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:\left|\frac{1}{n^a}\right|<\epsilon$$

В последнем неравенстве можно избавиться от модуля, так как выражение под ним всегда положительное:

$$\frac{1}{n^a}<\epsilon$$

Изолируем $n$:

$$n>\frac{1}{\sqrt[a]{\epsilon }}$$

Какое бы $\epsilon >0$ мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее $\frac{1}{\sqrt[a]{\epsilon }}$ и тогда требуемое по определению предела неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать $N$ будем по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\lceil \frac{1}{\sqrt[a]{\epsilon }}\rceil$$

По этой формуле мы получаем округление сверху («потолок») числа $\frac{1}{\sqrt[a]{\epsilon }}$. Из определения «потолка» числа:

$$\lceil \frac{1}{\sqrt[a]{\epsilon }}\rceil \ge \frac{1}{\sqrt[a]{\epsilon }}$$

Так как в условии у нас $n>N(\epsilon )$, то следующее натуральное число после $N(\epsilon )$ будет $N(\epsilon )+1$:

$$n\ge N(\epsilon )+1>N(\epsilon )=\lceil \frac{1}{\sqrt[a]{\epsilon }}\rceil \ge \frac{1}{\sqrt[a]{\epsilon }}$$

$$n>\frac{1}{\sqrt[a]{\epsilon }}$$

Итак, мы нашли формулу для $N(\epsilon )$, при которой определение предела выполняется. Таким образом, доказали, что:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^a}=0$$

$■$