Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 103
Нормальная
Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Решение

Будем рассматривать 4 подпоследовательности:

Любой член последовательности с номером лежит в одной из этих четырех подпоследовательностей, так как любое число при делении на дает один из четырех остатков: или .


Рассмотрим подпоследовательности и :

Итак, теперь мы можем найти первые две предельные точки последовательности :


Рассмотрим подпоследовательность :

Найдем предел этой подпоследовательности:

Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П-ссылка).

Рассмотрим подпоследовательность :

Найдем предел этой подпоследовательности:

Последовательность можно «зажать»:

«Последовательность» из стремится к , как и последовательность (см. прото-задачу «Элементарные пределы последовательностей»). Значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» последовательность тоже стремится к .


Итак, все четыре подпоследовательности имеют предел:

По прото-задаче П-ссылка у последовательности больше нет предельных точек, кроме .

А значит


Мы уже выяснили, что

Докажем, что — верхняя граница последовательности . Это точно верхняя граница для подпоследовательностей и , так как они целиком состоят из .

Это также верхняя граница для подпоследовательности , так как

Видим, что каждый член этой подпоследовательности меньше .

Наконец, это верхняя граница для подпоследовательности :

Итак, — верхняя граница для любой подпоследовательности . Так как по условию любой член лежит в одной из перечисленных подпоследовательностей, то — верхняя граница для всей последовательности .

По прото-задаче П-ссылка это означает, что — точная верхняя грань:

Аналагично показывается, что , как предел , является точной нижней гранью: