Для последовательности найти , , и , если:
Будем рассматривать 4 подпоследовательности:
Любой член последовательности с номером лежит в одной из этих четырех подпоследовательностей, так как любое число при делении на дает один из четырех остатков: или .
Рассмотрим подпоследовательности и :
Итак, теперь мы можем найти первые две предельные точки последовательности :
Рассмотрим подпоследовательность :
Найдем предел этой подпоследовательности:
Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).
Рассмотрим подпоследовательность :
Найдем предел этой подпоследовательности:
Последовательность можно "зажать":
"Последовательность" из стремится к , как и последовательность (см. прото-задачу "Элементарные пределы последовательностей"). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность тоже стремится к .
Итак, все четыре подпоследовательности имеют предел:
По прото-задаче П.22 у последовательности больше нет предельных точек, кроме .
А значит
Мы уже выяснили, что
Докажем, что — верхняя граница последовательности . Это точно верхняя граница для подпоследовательностей и , так как они целиком состоят из .
Это также верхняя граница для подпоследовательности , так как
Видим, что каждый член этой подпоследовательности меньше .
Наконец, это верхняя граница для подпоследовательности :
Итак, — верхняя граница для любой подпоследовательности . Так как по условию любой член лежит в одной из перечисленных подпоследовательностей, то — верхняя граница для всей последовательности .
По прото-задаче П.17 это означает, что — точная верхняя грань:
Аналагично показывается, что , как предел , является точной нижней гранью: