Демидович
103

Для последовательности найти , , и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Будем рассматривать 4 подпоследовательности:

Любой член последовательности с номером лежит в одной из этих четырех подпоследовательностей, так как любое число при делении на дает один из четырех остатков: или .


Рассмотрим подпоследовательности и :

Итак, теперь мы можем найти первые две предельные точки последовательности :


Рассмотрим подпоследовательность :

Найдем предел этой подпоследовательности:

Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).

Рассмотрим подпоследовательность :

Найдем предел этой подпоследовательности:

Последовательность можно "зажать":

"Последовательность" из стремится к , как и последовательность (см. прото-задачу "Элементарные пределы последовательностей"). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность тоже стремится к .


Итак, все четыре подпоследовательности имеют предел:

По прото-задаче П.22 у последовательности больше нет предельных точек, кроме .

А значит


Мы уже выяснили, что

Докажем, что — верхняя граница последовательности . Это точно верхняя граница для подпоследовательностей и , так как они целиком состоят из .

Это также верхняя граница для подпоследовательности , так как

Видим, что каждый член этой подпоследовательности меньше .

Наконец, это верхняя граница для подпоследовательности :

Итак, — верхняя граница для любой подпоследовательности . Так как по условию любой член лежит в одной из перечисленных подпоследовательностей, то — верхняя граница для всей последовательности .

По прото-задаче П.17 это означает, что — точная верхняя грань:

Аналагично показывается, что , как предел , является точной нижней гранью:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Точные грани и предельные точки
Связь точной верхней (нижней) грани с предельными точками последовательности.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.