Будем рассматривать 4 подпоследовательности:

$$x_{4n}{x}_{4n-1}{x}_{4n-2}{x}_{4n-3}$$

Любой член последовательности $x_n$ с номером $n$ лежит в одной из этих четырех подпоследовательностей, так как любое число при делении на $4$ дает один из четырех остатков: $0,1,2$ или $3$.

Рассмотрим подпоследовательности $x_{4n-1}$ и $x_{4n-3}$:

$$\begin{gathered} x_{4n-1}=1+\frac{4n-1}{4n}\cos \frac{4\pi n-\pi }{2}=1+\frac{4n-1}{4n}\cos \left(2\pi n-\frac{\pi }{2}\right)= \\ =1+\frac{4n-1}{4n}\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=1+\frac{4n-1}{4n}\cdot 0=1 \end{gathered}$$

$$x_{4n-1}=1$$

$$\begin{gathered} x_{4n-3}=1+\frac{4n-3}{4n-2}\cos \frac{4\pi n-3\pi }{2}=1+\frac{4n-3}{4n-2}\cos \left(2\pi n-\frac{3\pi }{2}\right)= \\ =1+\frac{4n-3}{4n-2}\cos \left(-\frac{3\pi }{2}\right)=1+\frac{4n-3}{4n-2}\cdot 0=1 \end{gathered}$$

$$x_{4n-3}=1$$

Итак, теперь мы можем найти первые две предельные точки последовательности $x_n$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }1=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n-3}=\underset{n\to \infty }{\lim }1=1$$

Рассмотрим подпоследовательность $x_{4n}$:

$$x_{4n}=1+\frac{4n}{4n+1}\cos \frac{4\pi n}{2}=1+\frac{4n}{4n+1}\cos 2\pi n=1+\frac{4n}{4n+1}$$

$$x_{4n}=1+\frac{4n}{4n+1}$$

Найдем предел этой подпоследовательности:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{4n}{4n+1}\right)=1+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n}{4n+1}= \\ =1+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\frac{4n+1}{4n}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{4}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{1+0}=2 \end{gathered}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n}=2$$

Мы воспользовались тем, что $\frac{n}{n+1}\to 1$ (см. прото-задачу П.10).

Рассмотрим подпоследовательность $x_{4n-2}$:

$$\begin{gathered} x_{4n-2}=1+\frac{4n-2}{4n-1}\cos \frac{4\pi n-2\pi }{2}=1+\frac{4n-2}{4n-1}\cos \left(2\pi n-\pi \right)= \\ =1+\frac{4n-2}{4n-1}\cos -\pi =1-\frac{4n-2}{4n-1} \end{gathered}$$

$$x_{4n-2}=1-\frac{4n-2}{4n-1}$$

Найдем предел этой подпоследовательности:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n-2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{4n-2}{4n-1}\right)=1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n-2}{4n-1}= \\ =1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n-1-1}{4n-1}=1-\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{4n-1}\right)=-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{4n-1} \end{gathered}$$

Последовательность $\frac{1}{4n-1}$ можно "зажать":

$$0\le \frac{1}{4n-1}\le \frac{1}{n}$$

"Последовательность" из $0$ стремится к $0$, как и последовательность $\frac{1}{n}$ (см. прото-задачу "Элементарные пределы последовательностей"). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность $\frac{1}{4n-1}$ тоже стремится к $0$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n-2}=-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{4n-1}=-0=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n-2}=0$$

Итак, все четыре подпоследовательности имеют предел:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n}=2 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n-1}=1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n-2}=0 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n-3}=1 \end{gathered}$$

По прото-задаче П.22 у последовательности $x_n$ больше нет предельных точек, кроме $2,1,0$.

А значит

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=2$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=0$$

Мы уже выяснили, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{4n}=2$$

Докажем, что $2$ — верхняя граница последовательности $x_n$. Это точно верхняя граница для подпоследовательностей $x_{4n-1}$ и $x_{4n-3}$, так как они целиком состоят из $1$.

Это также верхняя граница для подпоследовательности $x_{4n-2}$, так как

$$x_{4n-2}=1-\frac{4n-2}{4n-1}$$

Видим, что каждый член этой подпоследовательности меньше $1$.

Наконец, это верхняя граница для подпоследовательности $x_{4n}$:

$$2>1+\frac{4n}{4n+1}$$

$$1>\frac{4n}{4n+1}$$

$$4n+1>4n$$

Итак, $2$ — верхняя граница для любой подпоследовательности $x_n$. Так как по условию любой член $x_n$ лежит в одной из перечисленных подпоследовательностей, то $2$ — верхняя граница для всей последовательности $x_n$.

По прото-задаче П.17 это означает, что $2$ — точная верхняя грань:

$$\sup x_n=2$$

Аналагично показывается, что $0$, как предел $x_{4n-2}$, является точной нижней гранью:

$$\inf x_n=0$$