Покажем, что $x_n$ неограничена сверху, то есть какое-бы число мы не приняли за верхнюю границу, найдется элемент $x_n$, который будет больше ее.

Сначала докажем, что верхняя граница $x_n$ не может быть отрицательной. Если бы это было так, что $x_2=2$ будет больше ее.

Пусть теперь $M>0$ — верхняя граница для $x_n$.

Рассмотрим натуральное число

$$\lceil M\rceil$$

Если оно четное, то

$$\begin{gathered} x_{\lceil M\rceil +2}=(-1{)}^{\lceil M\rceil +2}\left(\lceil M\rceil +2\right)=\lceil M\rceil +2>\lceil M\rceil \ge M \\ {x}_{\lceil M\rceil +2}>M \end{gathered}$$

Если $M$ нечетное, то

$$\begin{gathered} x_{\lceil M\rceil +1}=(-1{)}^{\lceil M\rceil +1}\left(\lceil M\rceil +1\right)=\lceil M\rceil +1>\lceil M\rceil \ge M \\ {x}_{\lceil M\rceil +1}>M \end{gathered}$$

Мы доказали, что какой бы не была верхняя граница, найдется элемент последовательности $x_n$, который будет строго больше этой границы. Значит, $x_n$ неограничена сверху, то есть

$$\sup x_n=+\infty$$

Аналогичным образом доказывается, что $x_n$ неограничена снизу, то есть

$$\inf x_n=-\infty$$

Рассмотрим подпоследовательность из четных $n$:

$$x_{2n}=()$$