Пусть — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа, и — сечение, определяющее вещественное число , где в класс входят все положительные рациональные числа такие, что , а в классе — все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе нет наибольшего числа, а в классе нет наименьшего числа.
Доказательство в обоих случаях нужно проводить от противного.
Например, для доказательства, что класс не имеет наименьшего элемента, предполагаем, что наименьший есть и равен . Затем рассматриваем такое :
Доказываем, что и что (то есть мы можем подобрать такое , чтобы это неравенство выполнялось). Тем самым получаем противоречие: еще меньше, чем , но все еще принадлежит классу .
Аналогичное доказательство для класса .
В условии допущена опечатка. Вместо " — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа" должно быть " — положительное число, не являющееся точным квадратом рационального числа".
В противном случае можно взять , тогда число будет является наибольшим элементом класса и наименьшим элементом класса , хотя в задаче требуется доказать их отсутствие.
не имеет наименьшего
Итак, у нас есть класс , который состоит из положительных рациональных , таких что :
Покажем, что у этого класса нет наименьшего элемента, то есть какое бы мы не взяли, существует еще более маленькое .
Докажем от противного. Пусть — наименьший элемент класса . Тогда рассмотрим вот такой :
где — какое-то натуральное число.
Очевидно, что , так как мы отняли от небольшое положительное число .
Теперь покажем, что принадлежит классу . Для этого надо показать, что 1) и 2) .
Итак, нам достаточно взять натуральное и будет больше 0. Теперь докажем, что .
Усилим неравенство, убрав из него слагаемое :
Другими словами, если мы найдем такие , что выполняется более сильное неравенство , то, добавив к и так большему еще положительное слагаемое (ослабив его) знак неравенства тем более не изменится.
Итак, имеем
Домножим обе части на и вынесем из знаменателя:
Итак, для нашего натурального числа мы получили два неравенства, при выполнении которых верны пункты 1) и 2):
Сразу два неравенства использовать неудобно, поэтому выберем из них большее:
Последнее неравенство верно, так как всегда положительное число, а отрицательное (по условию ).
Это значит, что для нахождения нужного нам можно использовать только одно неравенство (второе выполняется автоматом):
Итак мы показали, что какое за наименьший элемент класса не принимай, всегда можно найти натуральное , а через него такое , что , и , а значит уже не наименьший элемент класса . Противоречие.
Это значит, что наименьшего элемента у класса нет.
не имеет наибольшего
Теперь возьмемся за класс . В условии сказано, что "в классе — все остальные рациональные числа". С таким определением работать неудобно. Уточним его.
Раз классе у нас положительные , такие что , то для класса остаются все отрицательные рациональные числа и положительные, но такие, чтобы . Почему , а не ? Потому что по условию (с учетом опечатки) мы указали, что не является точным квадратом рационального числа.
Итак,
Покажем, что у этого класса нет наибольшего элемента, то есть какое бы мы не взяли, существует еще более большое .
Опять пойдем от противного. Пусть — наибольший элемент в классе . Если , то возьмем . Так как , то он и является настоящим наибольшим элементом. Получили противоречие. Значит, среди отрицательных рациональных чисел искать наибольший элемент бесполезно. всегда все будет портить.
Пусть тогда . Тогда рассмотрим вот такое :
где — какое-то натуральное число.
Очевидно, что , так как мы прибавили к небольшое положительное число .
Теперь покажем, что принадлежит классу . Для этого надо показать, что :
Перенесем в правую часть неравенства:
Усилим неравенство, заменив на :
Другими словами, если мы найдем такие , что выполняется более сильное неравенство , то, увеличив на степень в знаменателе, мы еще больше уменьшим (ослабим) это неравенство и для него найденная тоже будет работать, то есть знак сохранится.
Итак, имеем
Вынесем из под знаменателя:
Итак мы показали, что какое за наибольший элемент класса не принимай, всегда можно найти натуральное , а через него такое , что и , а значит уже не наибольший элемент класса . Противоречие.
Это значит, что наибольшего элемента у класса нет.
Мы доказали, что у класса нет наибольшего элемента, а у класса нет наименьшего.