Демидович
11

Пусть — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа, и — сечение, определяющее вещественное число , где в класс входят все положительные рациональные числа такие, что , а в классе — все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе нет наибольшего числа, а в классе нет наименьшего числа.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Доказательство в обоих случаях нужно проводить от противного.

Например, для доказательства, что класс не имеет наименьшего элемента, предполагаем, что наименьший есть и равен . Затем рассматриваем такое :

Доказываем, что и что (то есть мы можем подобрать такое , чтобы это неравенство выполнялось). Тем самым получаем противоречие: еще меньше, чем , но все еще принадлежит классу .

Аналогичное доказательство для класса .

Решение

В условии допущена опечатка. Вместо " — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа" должно быть " — положительное число, не являющееся точным квадратом рационального числа".

В противном случае можно взять , тогда число будет является наибольшим элементом класса и наименьшим элементом класса , хотя в задаче требуется доказать их отсутствие.

не имеет наименьшего

Итак, у нас есть класс , который состоит из положительных рациональных , таких что :

Покажем, что у этого класса нет наименьшего элемента, то есть какое бы мы не взяли, существует еще более маленькое .

Докажем от противного. Пусть — наименьший элемент класса . Тогда рассмотрим вот такой :

где — какое-то натуральное число.

Очевидно, что , так как мы отняли от небольшое положительное число .

Теперь покажем, что принадлежит классу . Для этого надо показать, что 1) и 2) .

Итак, нам достаточно взять натуральное и будет больше 0. Теперь докажем, что .

Усилим неравенство, убрав из него слагаемое :

Другими словами, если мы найдем такие , что выполняется более сильное неравенство , то, добавив к и так большему еще положительное слагаемое (ослабив его) знак неравенства тем более не изменится.

Итак, имеем

Домножим обе части на и вынесем из знаменателя:

Итак, для нашего натурального числа мы получили два неравенства, при выполнении которых верны пункты 1) и 2):

Сразу два неравенства использовать неудобно, поэтому выберем из них большее:

Последнее неравенство верно, так как всегда положительное число, а отрицательное (по условию ).

Это значит, что для нахождения нужного нам можно использовать только одно неравенство (второе выполняется автоматом):

Итак мы показали, что какое за наименьший элемент класса не принимай, всегда можно найти натуральное , а через него такое , что , и , а значит уже не наименьший элемент класса . Противоречие.

Это значит, что наименьшего элемента у класса нет.

не имеет наибольшего

Теперь возьмемся за класс . В условии сказано, что "в классе — все остальные рациональные числа". С таким определением работать неудобно. Уточним его.

Раз классе у нас положительные , такие что , то для класса остаются все отрицательные рациональные числа и положительные, но такие, чтобы . Почему , а не ? Потому что по условию (с учетом опечатки) мы указали, что не является точным квадратом рационального числа.

Итак,

Покажем, что у этого класса нет наибольшего элемента, то есть какое бы мы не взяли, существует еще более большое .

Опять пойдем от противного. Пусть — наибольший элемент в классе . Если , то возьмем . Так как , то он и является настоящим наибольшим элементом. Получили противоречие. Значит, среди отрицательных рациональных чисел искать наибольший элемент бесполезно. всегда все будет портить.

Пусть тогда . Тогда рассмотрим вот такое :

где — какое-то натуральное число.

Очевидно, что , так как мы прибавили к небольшое положительное число .

Теперь покажем, что принадлежит классу . Для этого надо показать, что :

Перенесем в правую часть неравенства:

Усилим неравенство, заменив на :

Другими словами, если мы найдем такие , что выполняется более сильное неравенство , то, увеличив на степень в знаменателе, мы еще больше уменьшим (ослабим) это неравенство и для него найденная тоже будет работать, то есть знак сохранится.

Итак, имеем

Вынесем из под знаменателя:

Итак мы показали, что какое за наибольший элемент класса не принимай, всегда можно найти натуральное , а через него такое , что и , а значит уже не наибольший элемент класса . Противоречие.

Это значит, что наибольшего элемента у класса нет.


Мы доказали, что у класса нет наибольшего элемента, а у класса нет наименьшего.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!