Демидович
115

Найти и , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Выясним, какие значения может принимать

Любое натуральное число при делении на дает один из трех остатков: или , то есть его можно представить в одном из следующих видов:

Рассмотрим значение синуса выше при каждом из этих видов:


Получим формулы для трех подпоследовательностей:

Найдем пределы этих подпоследовательностей:

В последних двух пределах мы воспользовались тем, что предел геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше , равен (см. прото-задачу П.14).


Итак, мы нашли два частичных предела последовательности : и . По прото-задаче П.22, других предельных точек у нет.

А значит:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Предел геометрической прогрессии
Сходимость к нулю убывающих и к бесконечности возрастающих геометрических прогрессий.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.