Уже в условии даются формулы для двух подпоследовательностей. Итак, любой элемент последовательности по условию принадлежит одной из двух подпоследовательностей:

$$y_{1_n}=\frac{1}{2^n}$$

$$y_{2_n}=\frac{2n-1}{2^n}$$

Найдем предел первой подпоследовательности:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{1_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^n}=0$$

Мы воспользовались тем, что $\frac{1}{2^n}\to 0$, так как является частным случаем последовательности $\frac{n^k}{a^n}$ при $k=0$ (см. прото-задачу П.12).

Найдем предел второй подпоследовательности:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{2_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n-1}{2^n}=1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n}=1-0=1$$

Итак, мы нашли две предельные точки исходной последовательности. Так как любой член исходной последовательности лежит в одной из двух рассмотренных выше подпоследовательностях, то, по прото-задаче П.22 у исходной последовательности других предельных точек нет.

Значит, у последовательности всего два возможных частичных предела: $0$ и $1$.