Сечение , определяющее число , строится следующим образом: класс содержит все рациональные числа такие, что ; класс содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе нет наибольшего числа, а в классе — наименьшего.
Доказательство в обоих случаях нужно проводить от противного.
Например, для доказательства, что класс не имеет наименьшего элемента, предполагаем, что наименьший есть и равен . Затем рассматриваем такое :
Доказываем, что (то есть мы можем подобрать такое , чтобы это неравенство выполнялось). Тем самым получаем противоречие: еще меньше, чем , но все еще принадлежит классу .
Аналогичное доказательство для класса .
не имеет наибольшего
Итак, у нас есть класс , который состоит из рациональных , таких что :
Покажем, что у этого класса нет наибольшего элемента, то есть какое бы мы не взяли, существует еще более большое .
Докажем от противного. Пусть — наибольший элемент класса . Тогда рассмотрим вот такое :
где — какое-то натуральное число.
Очевидно, что , так как мы прибавили к небольшое положительное число .
Теперь покажем, что принадлежит классу . Для этого надо показать, что :
Перенесем в правую часть неравенства:
Усилим неравенство, заменив на :
Другими словами, если мы найдем такие , что выполняется более сильное неравенство в правой части, то, увеличив на степень в знаменателе, мы еще больше уменьшим (ослабим) это неравенство и для него найденная тоже будет работать, то есть знак сохранится.
Итак, имеем
Вновь усилим неравенство, заменив на :
Суть осталась такой же. Найдем , для которого выполняется правая часть, то левая, так как она меньше, тем более будет верна при найденном .
Имеем
Вынесем из под знаменателя:
Итак мы показали, что какое за наибольший элемент класса не принимай, всегда можно найти натуральное , а через него такое , что и , а значит уже не наибольший элемент класса . Противоречие.
Это значит, что наибольшего элемента у класса нет.
не имеет наименьшего
Теперь возьмемся за класс . В условии сказано, что "класс содержит все остальные рациональные числа". С таким определением работать неудобно. Уточним его.
Раз классе у рациональные числа , такие что , то для класса остаются все рациональные числа , такие что .
Итак,
Покажем, что у этого класса нет наименьшего элемента, то есть какое бы мы не взяли, существует еще более маленькое .
Докажем от противного. Пусть — наименьший элемент класса . Тогда рассмотрим вот такой :
где — какое-то натуральное число.
Очевидно, что , так как мы отняли от небольшое положительное число .
Теперь покажем, что принадлежит классу . Для этого надо показать, :
Усилим неравенство, убрав из него слагаемое :
Другими словами, если мы найдем такие , что выполняется более сильное правое неравенство, то, добавив к нем еще положительное слагаемое (ослабив его) знак неравенства тем более не изменится.
Итак, имеем
Теперь выясним, какой знак стоит между следующими дробями:
Домножим обе части на положительное :
Но мы знаем, что . Значит, знаки вопроса выше можно заменить на найденный знак , вплоть до нужного нам неравенства, с которого мы начали:
Прибавим к обеим сторонам дробь :
Только что мы вновь усилили наше неравенство:
Имеем
Домножим обе части на и вынесем из знаменателя:
Итак мы показали, что какое за наименьший элемент класса не принимай, всегда можно найти натуральное , а через него такое , что и , а значит уже не наименьший элемент класса . Противоречие.
Это значит, что наименьшего элемента у класса нет.
Мы доказали, что у класса нет наибольшего элемента, а у класса нет наименьшего.