Демидович
12

Сечение , определяющее число , строится следующим образом: класс содержит все рациональные числа такие, что ; класс содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе нет наибольшего числа, а в классе — наименьшего.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Доказательство в обоих случаях нужно проводить от противного.

Например, для доказательства, что класс не имеет наименьшего элемента, предполагаем, что наименьший есть и равен . Затем рассматриваем такое :

Доказываем, что (то есть мы можем подобрать такое , чтобы это неравенство выполнялось). Тем самым получаем противоречие: еще меньше, чем , но все еще принадлежит классу .

Аналогичное доказательство для класса .

Решение

не имеет наибольшего

Итак, у нас есть класс , который состоит из рациональных , таких что :

Покажем, что у этого класса нет наибольшего элемента, то есть какое бы мы не взяли, существует еще более большое .

Докажем от противного. Пусть — наибольший элемент класса . Тогда рассмотрим вот такое :

где — какое-то натуральное число.

Очевидно, что , так как мы прибавили к небольшое положительное число .

Теперь покажем, что принадлежит классу . Для этого надо показать, что :

Перенесем в правую часть неравенства:

Усилим неравенство, заменив на :

Другими словами, если мы найдем такие , что выполняется более сильное неравенство в правой части, то, увеличив на степень в знаменателе, мы еще больше уменьшим (ослабим) это неравенство и для него найденная тоже будет работать, то есть знак сохранится.

Итак, имеем

Вновь усилим неравенство, заменив на :

Суть осталась такой же. Найдем , для которого выполняется правая часть, то левая, так как она меньше, тем более будет верна при найденном .

Имеем

Вынесем из под знаменателя:

Итак мы показали, что какое за наибольший элемент класса не принимай, всегда можно найти натуральное , а через него такое , что и , а значит уже не наибольший элемент класса . Противоречие.

Это значит, что наибольшего элемента у класса нет.

не имеет наименьшего

Теперь возьмемся за класс . В условии сказано, что "класс содержит все остальные рациональные числа". С таким определением работать неудобно. Уточним его.

Раз классе у рациональные числа , такие что , то для класса остаются все рациональные числа , такие что .

Итак,

Покажем, что у этого класса нет наименьшего элемента, то есть какое бы мы не взяли, существует еще более маленькое .

Докажем от противного. Пусть — наименьший элемент класса . Тогда рассмотрим вот такой :

где — какое-то натуральное число.

Очевидно, что , так как мы отняли от небольшое положительное число .

Теперь покажем, что принадлежит классу . Для этого надо показать, :

Усилим неравенство, убрав из него слагаемое :

Другими словами, если мы найдем такие , что выполняется более сильное правое неравенство, то, добавив к нем еще положительное слагаемое (ослабив его) знак неравенства тем более не изменится.

Итак, имеем

Теперь выясним, какой знак стоит между следующими дробями:

Домножим обе части на положительное :

Но мы знаем, что . Значит, знаки вопроса выше можно заменить на найденный знак , вплоть до нужного нам неравенства, с которого мы начали:

Прибавим к обеим сторонам дробь :

Только что мы вновь усилили наше неравенство:

Имеем

Домножим обе части на и вынесем из знаменателя:

Итак мы показали, что какое за наименьший элемент класса не принимай, всегда можно найти натуральное , а через него такое , что и , а значит уже не наименьший элемент класса . Противоречие.

Это значит, что наименьшего элемента у класса нет.


Мы доказали, что у класса нет наибольшего элемента, а у класса нет наименьшего.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!