Пункт а)

$$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{18}$$

С помощью метода, доказанного в задаче 11, построим сечение $A/A^{\prime }$ для вещественного числа $\sqrt{2}$, верхний класс которого $A^{\prime }$ состоит из положительных рациональных чисел $a^{\prime }$ таких, что $a^{\prime 2}>2$. Получаем, что:

$$a<\sqrt{2}<a^{\prime }$$

Тем же методом построим сечение $B/B^{\prime }$ для вещественного числа $\sqrt{8}$, верхний класс которого $B^{\prime }$ состоит из положительных рациональных чисел $b^{\prime }$ таких, что $b^{\prime 2}>8$. Получаем, что:

$$b<\sqrt{8}<b^{\prime }$$

Суммой вещественных чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt{8}$, по определению, будет такое число $\sqrt{2}+\sqrt{8}$, что лежит между всех сумм вида $a+b$ и $a^{\prime }+b^{\prime }$:

$$\{a+b\}<\sqrt{2}+\sqrt{8}<\{a^{\prime }+b^{\prime }\}$$

Построим сечение $C/C^{\prime }$ для вещественного числа $\sqrt{18}$, верхний класс $C^{\prime }$ которого состоит из положительных рациональных чисел $c^{\prime }$ таких, что $c^{\prime 2}>18$.

Покажем, что $\sqrt{18}$ также лежит между суммами $a+b$ и $a^{\prime }+b^{\prime }$:

$$\{a+b\}<\sqrt{18}<\{a^{\prime }+b^{\prime }\}$$

По определению классов $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$:

$$a^{\prime 2}>2b^{\prime 2}>8$$

Умножим эти неравенства друг на друга:

$$a^{\prime 2}{b}^{\prime 2}>16$$

Умножим обе части на $4$:

$$4a^{\prime 2}{b}^{\prime 2}>64$$

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

$$2a^{\prime }{b}^{\prime }>8$$

Итак, мы имеем

$$a^{\prime 2}>22a^{\prime }{b}^{\prime }>8b^{\prime 2}>8$$

Сложим все эти неравенства друг с другом:

$$18<a^{\prime 2}+2a^{\prime }{b}^{\prime }+b^{\prime 2}=(a^{\prime }+b^{\prime }{)}^2$$

$$18<(a^{\prime }+b^{\prime }{)}^2$$

Возьмем корень из обеих частей:

$$\sqrt{18}<a^{\prime }+b^{\prime }$$

Аналогичным образом работая с $a$ и $b$ приходим к неравенствам:

$$a^2<22ab<8b^2<8$$

Складывая их получаем, что

$$(a+b{)}^2<18$$

$$a+b<\sqrt{18}$$

Итак, мы показали, что

$$a+b<\sqrt{18}<a^{\prime }+b^{\prime }$$

Получается, что

$$\left\{a+b\right\}<\sqrt{2}+\sqrt{8}<\left\{a^{\prime }+b^{\prime }\right\}$$

$$\left\{a+b\right\}<\sqrt{18}<\left\{a^{\prime }+b^{\prime }\right\}$$

По определению суммы вещественных чисел между суммами вида $a+b$ и $a^{\prime }+b^{\prime }$ может лежать только одно вещественное число, поэтому

$$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{18}$$

$■$

Пункт б)

$$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$$

С помощью метода, доказанного в задаче 11, построим сечение $A/A^{\prime }$ для вещественного числа $\sqrt{2}$, верхний класс которого $A^{\prime }$ состоит из положительных рациональных чисел $a^{\prime }$ таких, что $a^{\prime 2}>2$. Получаем, что:

$$a<\sqrt{2}<a^{\prime }$$

Тем же методом построим сечение $B/B^{\prime }$ для вещественного числа $\sqrt{3}$, верхний класс которого $B^{\prime }$ состоит из положительных рациональных чисел $b^{\prime }$ таких, что $b^{\prime 2}>3$. Получаем, что

$$b<\sqrt{3}<b^{\prime }$$

Произведением вещественных чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, по определению, будет такое число $\sqrt{2}\sqrt{3}$, что лежит между всех произведений вида $ab$ и $a^{\prime }{b}^{\prime }$:

$$\{ab\}<\sqrt{2}\sqrt{3}<\{a^{\prime }{b}^{\prime }\}$$

Покажем, что $\sqrt{6}$ также лежит между произведениями $ab$ и $a^{\prime }{b}^{\prime }$:

$$\{ab\}<\sqrt{18}<\{a^{\prime }{b}^{\prime }\}$$

По определению классов $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$:

$$a^{\prime 2}>2b^{\prime 2}>3$$

Умножим эти неравенства друг на друга:

$$a^{\prime 2}{b}^{\prime 2}=(a^{\prime }{b}^{\prime }{)}^2>6$$

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

$$a^{\prime }{b}^{\prime }>\sqrt{6}$$

Аналогичным образом работая с $a$ и $b$ приходим к тому, что

$$ab<\sqrt{6}$$

Получается, что

$$\left\{ab\right\}<\sqrt{2}\sqrt{3}<\left\{a^{\prime }{b}^{\prime }\right\}$$

$$\left\{ab\right\}<\sqrt{6}<\left\{a^{\prime }{b}^{\prime }\right\}$$

По определению произведения вещественных чисел между произведениями вида $ab$ и $a^{\prime }{b}^{\prime }$ может лежать только одно вещественное число, поэтому

$$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$$

$■$