Демидович
123

Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Пункт а)

Это просто последовательность натуральных чисел.

Докажем, что у этой последовательности не существует конечных частичных пределов.

Докажем от противного. Пусть существует некоторая подпоследовательность , которая сходится к некоторому конечному числу. Если сходится, то, по критерию Коши, она фундаментальная, то есть

Возьмем тогда . Должно существовать такое , чтобы выполнялось неравенство:

есть какое-то натуральное число, причем оно больше, чем , так как последовательность натуральных чисел строго возрастает. Но результатом вычитания из большего натурального числа меньшего всегда будет натуральное число, то есть

Можно "обернуть" в модуль левую часть неравенства, так как там все-равно стоит положительное число:

Итак, получили противоречие:

Это значит, что подпоследовательность не фундаментальная, а значит не сходится к конечному числу.

Мы доказали, что конечных частичных пределов у нет.

Пункт б)

Запишем первые несколько ее членов:

Если сходится, то, согласно задаче 93 она ограничена. Но внутри нее на четных номерах содержится последовательность всех натуральных чисел, которая не ограничена. Получили противоречие. Значит, не сходится.

Из этой последовательности можно выделить подпоследовательность с нечетными номерами:

Соответственно

Итак, у есть как минимум один конечный частичный предел.

Докажем, что других конечных частичных пределов быть не может. Докажем от противного. Пусть существует некоторая подпоследовательность , которая сходится к отличному от числу. Тогда, какой бы номер мы не взяли, после него в этой подпоследовательности должны встречаться четные номера из . В противном случае стремилась бы к . Итак, в подпоследовательности можно всегда выделить подпоследовательность натуральных чисел.

Итак, сходится, а значит, по задаче 93, она ограничена. Но, как мы только что сказали, в обязательно встретится подпоследовательность натуральных чисел, которая, естественно, не ограничена. Значит, не может быть ограниченной. Получили противоречие. Значит не сходится к конечному числу.

Мы построили расходящуюся последовательность , у который есть только один конечный частичный предел.

Пункт в)

Такую последовательность мы построили в задаче 122. Также в задаче 118 приведен реальный пример такой последовательности.


Пункт г)

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!