Пункт а)

$$x_n=n$$

Это просто последовательность натуральных чисел.

Докажем, что у этой последовательности не существует конечных частичных пределов.

Докажем от противного. Пусть существует некоторая подпоследовательность $x_{p_n}$, которая сходится к некоторому конечному числу. Если $x_{p_n}$ сходится, то, по критерию Коши, она фундаментальная, то есть

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N,m>0:|x_{p_{n+m}}-x_{p_n}|<\epsilon$$

Возьмем тогда $\epsilon =1$. Должно существовать такое $N$, чтобы выполнялось неравенство:

$$|x_{p_{n+m}}-x_{p_n}|<1$$

$x_{p_{n+m}}$ есть какое-то натуральное число, причем оно больше, чем $x_{p_n}$, так как последовательность натуральных чисел строго возрастает. Но результатом вычитания из большего натурального числа меньшего всегда будет натуральное число, то есть

$$x_{p_{n+m}}-x_{p_n}\ge 1$$

Можно "обернуть" в модуль левую часть неравенства, так как там все-равно стоит положительное число:

$$x_{p_{n+m}}-x_{p_n}=|x_{p_{n+m}}-x_{p_n}|\ge 1$$

Итак, получили противоречие:

$$|x_{p_{n+m}}-x_{p_n}|<1|x_{p_{n+m}}-x_{p_n}|\ge 1$$

Это значит, что подпоследовательность $x_{p_n}$ не фундаментальная, а значит не сходится к конечному числу.

Мы доказали, что конечных частичных пределов у $x_n$ нет.

$■$

Пункт б)

$$x_n=n\left(\frac{1+(-1{)}^n}{2}\right)$$

Запишем первые несколько ее членов:

$$0,1,0,2,0,3,\dots$$

Если $x_n$ сходится, то, согласно задаче 93 она ограничена. Но внутри нее на четных номерах содержится последовательность всех натуральных чисел, которая не ограничена. Получили противоречие. Значит, $x_n$ не сходится.

Из этой последовательности можно выделить подпоследовательность с нечетными номерами:

$$x_{2n+1}=(2n+1)\left(\frac{1-1}{2}\right)=(2n+1)\cdot 0=0$$

Соответственно

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$$

Итак, у $x_n$ есть как минимум один конечный частичный предел.

Докажем, что других конечных частичных пределов быть не может. Докажем от противного. Пусть существует некоторая подпоследовательность $x_{p_n}$, которая сходится к отличному от $0$ числу. Тогда, какой бы номер $p_n$ мы не взяли, после него в этой подпоследовательности должны встречаться четные номера из $x_n$. В противном случае $x_{p_n}$ стремилась бы к $0$. Итак, в подпоследовательности $x_{p_n}$ можно всегда выделить подпоследовательность натуральных чисел.

Итак, $x_{p_n}$ сходится, а значит, по задаче 93, она ограничена. Но, как мы только что сказали, в $x_{p_n}$ обязательно встретится подпоследовательность натуральных чисел, которая, естественно, не ограничена. Значит, $x_{p_n}$ не может быть ограниченной. Получили противоречие. Значит $x_{p_n}$ не сходится к конечному числу.

Мы построили расходящуюся последовательность $x_n$, у который есть только один конечный частичный предел.

Пункт в)

Такую последовательность мы построили в задаче 122. Также в задаче 118 приведен реальный пример такой последовательности.

Пункт г)