В задаче 65 доказывалось, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$$

По прото-задаче П-ссылка получаем, что любая подпоследовательность этой последовательности тоже стремится к $1$.

Рассмотрим произвольный частичный предел $A$ последовательности $x_n$. Это означает, что существует некоторая подпоследовательность $x_{p_n}$, которая сходится к $A$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}=A$$

Тогда последовательность

$$x_{p_n}\sqrt[p_n]{p_n}$$

является подпоследовательностью $y_n$. Найдем ее предел:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{p_n}=x_{p_n}\sqrt[p_n]{p_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[p_n]{p_n}=A\cdot 1=A$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{p_n}=A$$

Итак, любой частичный предел $x_n$ является частичным пределом $y_n$.

Рассмотрим произвольный частичный предел $B$ последовательности $y_n$. Это означает, что существует некоторая подпоследовательность $y_{q_n}$, которая сходится к $B$:

$$y_{q_n}=x_{q_n}\sqrt[q_n]{q_n}$$

Поделим обе части на строго положительное $\sqrt[q_n]{q_n}$:

$$x_{q_n}=\frac{y_{q_n}}{\sqrt[q_n]{q_n}}$$

Найдем предел подпоследовательности $x_{q_n}$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{q_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_{q_n}}{\sqrt[q_n]{q_n}}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{q_n}}{\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[q_n]{q_n}}=\frac{B}{1}=B$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{q_n}=B$$

Итак, любой частичный предел $y_n$ является частичным пределом $x_n$.

Мы показали, что любой частичный предел $x_n$ является частичным пределом $y_n$ и наоборот, а значит обе эти последовательности имеют одни и те же частичные пределы.

$■$