Построение подпоследовательности

Распишем по определению, что значит, что последовательность $x_n$ не ограничена

$$\forall M>0\exists n:|x_n|>M$$

Начем строить подпоследовательность. Пусть $M_1=1$. Так как $x_n$ не ограничена, то существует некоторый ее номер, который мы обозначим за $p_1$, такой, что

$$|x_{p_1}|>M_1$$

Итак, $x_{p_1}$ — первый член нашей подпоследовательности.

Теперь пусть $M_2=\lceil |x_{p_1}|\rceil$. Докажем, что найдется такое $p_2>p_1$, что $|x_{p_2}|>M_2$. Пусть это не так, то есть

$$\forall n>p_1:|x_n|\le M_2$$

Это означает, что все члены последовательности $x_n$ после $x_{p_1}$ ограничены числом $M_2$. А до $x_{p_1}$ есть всего конечное число элементов последовательности. Получается, что $x_n$ ограничена либо $M_2$, либо каким-то наибольшим членом с номером от $0$ до $p_1$. Получили противоречие. Это значит, что все же можно найти такой номер $p_2>p_1$, чтобы выполнялось неравенство $|x_{p_2}|>M_2$. Итак, $x_{p_2}$ — второй элемент нашей подпоследовательности.

Вновь принимаем $M_3=\lceil |x_{p_2}|\rceil$ и получаем третий элемент $x_{p_3}$.

По подобному алгоритму получаем подпоследовательность:

$$x_{p_1},x_{p_2},\dots ,x_{p_n}$$

Ключевое неравенство

Заметим, что

$$|x_{p_1}|>M_1|x_{p_2}|>M_2\dots |x_{p_n}|>M_n$$

Но

$$\begin{gathered} M_1=1 \\ {M}_2=\lceil |x_{p_1}|\rceil \ge |x_{p_1}|>M_1 \\ {M}_3=\lceil |x_{p_2}|\rceil \ge |x_{p_2}|>M_2 \\ \dots \\ {M}_n=\lceil |x_{p_{n-1}}|\rceil \ge |x_{p_{n-1}}|>M_{n-1} \end{gathered}$$

Итак, получаем ключевое неравенство:

$$M_1<|x_{p_1}|\le M_2<|x_{p_2}|\le M_3<|x_{p_3}|\le \dots$$

Откуда получаем два важных следствия:

$$|x_{p_1}|<|x_{p_2}|<|x_{p_3}|<\dots$$

$$M_1<M_2<M_3<\dots$$

Насчет последнего неравенства заметим, что каждое из чисел $M$ является натуральным числом (так как мы берем «потолок» положительного числа). Получается, при создании подпоследовательности $x_{p_n}$ мы связали ее с возрастающей подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Доказательство расходимости

Пусть $E$ — любое положительное вещественное число. Так как $E$ не обязательно натуральное число, возьмем его «потолок», который по определению будет натуральным числом и притом

$$\lceil E\rceil \ge E$$

Выше мы уже упоминали строго возрастающую подпоследовательность последовательности натуральных чисел: $M_1,M_2,\dots$. Рано или поздно найдется такое $M_t$, что

$$M_t>\lceil E\rceil \ge E$$

Вместе с этим $M_t$ будет идти и член $x_{p_t}$ нашей подпоследовательности, такой, что

$$|x_{p_t}|>M_t>\lceil E\rceil \ge E$$

Итак, какое бы $E>0$ мы не взяли, всегда найдется такое $M_t$, а вместе с ним и $x_{p_t}$, такие, что

$$|x_{p_t}|>M_t>\lceil E\rceil \ge E$$

$$|x_{p_t}|>E$$

Причем модули всех остальных членов подпоследовательности $|x_{p_{t+1}}|,|x_{p_{t+2}}|,\dots$ тоже будут больше $E$, так как выше мы показали, что

$$|x_{p_n}|>|x_{p_m}|,n>m$$

Итак:

$$\forall E>0\exists \underset{\text{через }M}{\underbrace{N=N(E)}}\forall p_n>N:|x_{p_n}|>E$$

А это по определению и означает, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}=\infty$$

$■$