Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 126
Нормальная

Доказать, что если последовательность не ограничена, то существует подпоследовательность такая, что

Решение

Построение подпоследовательности

Распишем по определению, что значит, что последовательность не ограничена

Начем строить подпоследовательность. Пусть . Так как не ограничена, то существует некоторый ее номер, который мы обозначим за , такой, что

Итак, — первый член нашей подпоследовательности.

Теперь пусть . Докажем, что найдется такое , что . Пусть это не так, то есть

Это означает, что все члены последовательности после ограничены числом . А до есть всего конечное число элементов последовательности. Получается, что ограничена либо , либо каким-то наибольшим членом с номером от до . Получили противоречие. Это значит, что все же можно найти такой номер , чтобы выполнялось неравенство . Итак, — второй элемент нашей подпоследовательности.

Вновь принимаем и получаем третий элемент .

По подобному алгоритму получаем подпоследовательность:

Ключевое неравенство

Заметим, что

Но

Итак, получаем ключевое неравенство:

Откуда получаем два важных следствия:

Насчет последнего неравенства заметим, что каждое из чисел является натуральным числом (так как мы берем «потолок» положительного числа). Получается, при создании подпоследовательности мы связали ее с возрастающей подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Доказательство расходимости

Пусть — любое положительное вещественное число. Так как не обязательно натуральное число, возьмем его «потолок», который по определению будет натуральным числом и притом

Выше мы уже упоминали строго возрастающую подпоследовательность последовательности натуральных чисел: . Рано или поздно найдется такое , что

Вместе с этим будет идти и член нашей подпоследовательности, такой, что

Итак, какое бы мы не взяли, всегда найдется такое , а вместе с ним и , такие, что

Причем модули всех остальных членов подпоследовательности тоже будут больше , так как выше мы показали, что

Итак:

А это по определению и означает, что