Демидович
126

Доказать, что если последовательность не ограничена, то существует подпоследовательность такая, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Построение подпоследовательности

Распишем по определению, что значит, что последовательность не ограничена

Начем строить подпоследовательность. Пусть . Так как не ограничена, то существует некоторый ее номер, который мы обозначим за , такой, что

Итак, — первый член нашей подпоследовательности.

Теперь пусть . Докажем, что найдется такое , что . Пусть это не так, то есть

Это означает, что все члены последовательности после ограничены числом . А до есть всего конечное число элементов последовательности. Получается, что ограничена либо , либо каким-то наибольшим членом с номером от до . Получили противоречие. Это значит, что все же можно найти такой номер , чтобы выполнялось неравенство . Итак, — второй элемент нашей подпоследовательности.

Вновь принимаем и получаем третий элемент .

По подобному алгоритму получаем подпоследовательность:

Ключевое неравенство

Заметим, что

Но

Итак, получаем ключевое неравенство:

Откуда получаем два важных следствия:

Насчет последнего неравенства заметим, что каждое из чисел является натуральным числом (так как мы берем "потолок" положительного числа). Получается, при создании подпоследовательности мы связали ее с возрастающей подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Доказательство расходимости

Пусть — любое положительное вещественное число. Так как не обязательно натуральное число, возьмем его "потолок", который по определению будет натуральным числом и притом

Выше мы уже упоминали строго возрастающую подпоследовательность последовательности натуральных чисел: . Рано или поздно найдется такое , что

Вместе с этим будет идти и член нашей подпоследовательности, такой, что

Итак, какое бы мы не взяли, всегда найдется такое , а вместе с ним и , такие, что

Причем модули всех остальных членов подпоследовательности тоже будут больше , так как выше мы показали, что

Итак:

А это по определению и означает, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!