Построив соответствующие сечения, доказать равенства:
Построив соответствующие сечения, доказать равенства:
Сечения нужно строить уже доказанным методом из задачи 11. С помощью этого метода в условии той задачи построено сечение произвольного числа .
Построить сечения для и для .
Доказать, что число лежит между всеми возможными суммами вида и :
где и .
Построить сечения для и для .
Доказать, что число лежит между всеми возможными произведениями вида и :
где и .
С помощью метода, доказанного в задаче 11, построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что . Получаем, что:
Тем же методом построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что . Получаем, что:
Суммой вещественных чисел и , по определению, будет такое число , что лежит между всех сумм вида и :
Построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что .
Покажем, что также лежит между суммами и :
По определению классов и :
Умножим эти неравенства друг на друга:
Умножим обе части на :
Возьмем квадратный корень из обеих частей:
Итак, мы имеем
Сложим все эти неравенства друг с другом:
Возьмем корень из обеих частей:
Аналогичным образом работая с и приходим к неравенствам:
Складывая их получаем, что
Итак, мы показали, что
Получается, что
По определению суммы вещественных чисел между суммами вида и может лежать только одно вещественное число, поэтому
С помощью метода, доказанного в задаче 11, построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что . Получаем, что:
Тем же методом построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что . Получаем, что
Произведением вещественных чисел и , по определению, будет такое число , что лежит между всех произведений вида и :
Покажем, что также лежит между произведениями и :
По определению классов и :
Умножим эти неравенства друг на друга:
Возьмем квадратный корень из обеих частей:
Аналогичным образом работая с и приходим к тому, что
Получается, что
По определению произведения вещественных чисел между произведениями вида и может лежать только одно вещественное число, поэтому