Демидович
13

Построив соответствующие сечения, доказать равенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Сечения нужно строить уже доказанным методом из задачи 11. С помощью этого метода в условии той задачи построено сечение произвольного числа .

Пункт а)

Построить сечения для и для .

Доказать, что число лежит между всеми возможными суммами вида и :

где и .

Пункт б)

Построить сечения для и для .

Доказать, что число лежит между всеми возможными произведениями вида и :

где и .

Решение

Пункт а)

С помощью метода, доказанного в задаче 11, построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что . Получаем, что:

Тем же методом построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что . Получаем, что:

Суммой вещественных чисел и , по определению, будет такое число , что лежит между всех сумм вида и :

Построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что .

Покажем, что также лежит между суммами и :

По определению классов и :

Умножим эти неравенства друг на друга:

Умножим обе части на :

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

Итак, мы имеем

Сложим все эти неравенства друг с другом:

Возьмем корень из обеих частей:

Аналогичным образом работая с и приходим к неравенствам:

Складывая их получаем, что

Итак, мы показали, что

Получается, что

По определению суммы вещественных чисел между суммами вида и может лежать только одно вещественное число, поэтому

Пункт б)

С помощью метода, доказанного в задаче 11, построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что . Получаем, что:

Тем же методом построим сечение для вещественного числа , верхний класс которого состоит из положительных рациональных чисел таких, что . Получаем, что

Произведением вещественных чисел и , по определению, будет такое число , что лежит между всех произведений вида и :

Покажем, что также лежит между произведениями и :

По определению классов и :

Умножим эти неравенства друг на друга:

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

Аналогичным образом работая с и приходим к тому, что

Получается, что

По определению произведения вещественных чисел между произведениями вида и может лежать только одно вещественное число, поэтому

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!