Замечание

По определению частичного предела он может быть как конечным, так и бесконечным. В этой задаче все частичные пределы в неравенствах в условии предполагаются конечными.

В противном случае можно рассмотреть последовательности $x_n=y_n=n$. Эти последовательности, а значит и любые их подпоследовательности стремятся к $+\infty$. Это приводит к вот такому бессмысленному неравенству, так как бесконечности не являются в полной мере числами и их "нельзя" складывать и сравнивать в обычном смысле:

$$+\infty +\infty \le +\infty \le +\infty +\infty$$

Поэтому далее мы считаем, что речь в задании идет о конечных наибольших/наименьших частичных пределах.

Доказательство а)

Доказательство первой части неравенства

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)$$

По условию

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)=A$$

Это означает, что существует некоторая подпоследовательность $x_{p_n}+y_{p_n}$ такая, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_{p_n}+y_{p_n})=A$$

В неравенстве из условия фигурируют наибольший и наименьший частичные пределы $y_n$. Это означает, что $y_n$ ограничена, потому что если она не ограничена, то, согласно задаче 126, в ней можно выделить подпоследовательность $y_{t_n}\to \infty$, а это значит, что $\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n=\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n=\infty$. Тут получаем противоречие с замечанием выше, согласно которому мы считаем, что приведенные в условии частичные пределы конечные. Раз $y_n$ ограничена, то и $y_{p_n}$ ограничена.

Раз $x_{p_n}+y_{p_n}$ сходится, то, согласно задаче 93, она ограничена. Итак, $y_{p_n}$ ограничена и $x_{p_n}+y_{p_n}$ ограничена, а значит и $(x_{p_n}+y_{p_n})-(y_{p_n})=x_{p_n}$ ограничена (см. прото-задачу П.8).

Итак, последовательности $x_{p_n}$ и $y_{p_n}$ ограничены.

Раз $y_{p_n}$ ограничена, то, по задаче 125 в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность $y_{q_n}$, в которой номера $q_n$ берутся из номеров $p_n$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{q_n}=B$$

Из этих же номеров $q_n$ рассмотрим последовательность $x_{q_n}$. Это подпоследовательность $x_{p_n}$, а значит и $x_{q_n}$ ограничена. Раз $x_{q_n}$ ограничена, то по задаче 125 в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{r_n}$, в которой номера $r_n$ берутся из номеров $q_n$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{r_n}=C$$

Из этих же номеров $r_n$ рассмотрим последовательность $y_{r_n}$. Это подпоследовательность $y_{q_n}$, а значит, по прото-задаче П.19 $y_{r_n}$ имеет такой же предел, что и $y_{q_n}$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{r_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{q_n}=B$$

Итак, получили две сходящиеся последовательности $x_{r_n}$ и $y_{r_n}$, состоящие из одинаковых номеров. Раз номера одинаковые, то последовательность $x_{r_n}+y_{r_n}$ является подпоследовательностью сходящейся последовательности $x_{p_n}+y_{p_n}$, а значит

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_{r_n}+y_{r_n})=\underset{n\to \infty }{\lim }(x_{p_n}+y_{p_n})=\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)=A$$

$x_{r_n}$ — сходящаяся подпоследовательность $x_n$, а значит, по определению наименьшего частичного предела:

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\le \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{r_n}$$

Аналогично для $y_{r_n}$:

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{r_n}$$

Сложим эти неравенства:

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{r_n}+\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{r_n}=\underset{=\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)}{\underbrace{\underset{n\to \infty }{\lim }(x_{r_n}+y_{r_n})}}$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)$$

Мы доказали первую половину неравенства.

Доказательство второй части неравенства

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

По прото-задаче П.23:

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n=-\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n)$$

Тогда, согласно уже доказанной первой части неравенства выполняется

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n-y_n)$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n$$

Вычтем из обеих частей $\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n)$:

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\underset{=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n}{\underbrace{-\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n)}}$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

Мы доказали вторую половину неравенства.

Итак, доказали, что

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

$■$

Доказательство б)

Снова воспользуемся прото-задачей прото-задаче П.23:

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)=-\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-x_n-y_n)=-\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n-x_n)$$

Воспользуемся уже доказанным неравенством в пункте а):

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-x_n)+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n-x_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n)+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-x_n)$$

Умножим все части неравенства на $-1$:

$$-\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-x_n)-\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n)\ge -\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n-x_n)\ge -\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-y_n)-\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(-x_n)$$

Применяем прото-задачу П.23 для каждого слагаемого:

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n)+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(y_n)\ge \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(y_n+x_n)\ge \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(y_n)+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n)$$

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

$■$