Доказать, что:
Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
Доказать, что:
Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
По определению частичного предела он может быть как конечным, так и бесконечным. В этой задаче все частичные пределы в неравенствах в условии предполагаются конечными.
В противном случае можно рассмотреть последовательности . Эти последовательности, а значит и любые их подпоследовательности стремятся к . Это приводит к вот такому бессмысленному неравенству, так как бесконечности не являются в полной мере числами и их "нельзя" складывать и сравнивать в обычном смысле:
Поэтому далее мы считаем, что речь в задании идет о конечных наибольших/наименьших частичных пределах.
Доказательство первой части неравенства
По условию
Это означает, что существует некоторая подпоследовательность такая, что
В неравенстве из условия фигурируют наибольший и наименьший частичные пределы . Это означает, что ограничена, потому что если она не ограничена, то, согласно задаче 126, в ней можно выделить подпоследовательность , а это значит, что . Тут получаем противоречие с замечанием выше, согласно которому мы считаем, что приведенные в условии частичные пределы конечные. Раз ограничена, то и ограничена.
Раз сходится, то, согласно задаче 93, она ограничена. Итак, ограничена и ограничена, а значит и ограничена (см. прото-задачу П.8).
Итак, последовательности и ограничены.
Раз ограничена, то, по задаче 125 в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность , в которой номера берутся из номеров .
Из этих же номеров рассмотрим последовательность . Это подпоследовательность , а значит и ограничена. Раз ограничена, то по задаче 125 в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность , в которой номера берутся из номеров .
Из этих же номеров рассмотрим последовательность . Это подпоследовательность , а значит, по прото-задаче П.19 имеет такой же предел, что и :
Итак, получили две сходящиеся последовательности и , состоящие из одинаковых номеров. Раз номера одинаковые, то последовательность является подпоследовательностью сходящейся последовательности , а значит
— сходящаяся подпоследовательность , а значит, по определению наименьшего частичного предела:
Аналогично для :
Сложим эти неравенства:
Мы доказали первую половину неравенства.
Доказательство второй части неравенства
По прото-задаче П.23:
Тогда, согласно уже доказанной первой части неравенства выполняется
Вычтем из обеих частей :
Мы доказали вторую половину неравенства.
Итак, доказали, что
Снова воспользуемся прото-задачей прото-задаче П.23:
Воспользуемся уже доказанным неравенством в пункте а):
Умножим все части неравенства на :
Применяем прото-задачу П.23 для каждого слагаемого: