Нет, не следует. Для доказательства этого нужно рассмотреть указанный в условии пример.

Расходимость $x_n$ и $y_n$

Итак, нам дано, что

$$x_n=\frac{1+(-1{)}^n}{2}=0,1,0,1,\dots$$

Из этой последовательности можно выделить две подпоследовательности с четными и нечетными номерами, которые сходятся к двум разным пределам:

$$\begin{gathered} x_{2n}=\frac{1+{\left((-1{)}^2\right)}^n}{2}=\frac{1+1^n}{2}=\frac{2}{2}=1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }1=1 \\ {x}_{2n+1}=\frac{1+(-1){\left((-1{)}^2\right)}^n}{2}=\frac{1-1}{2}=\frac{0}{2}=0 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0 \end{gathered}$$

Итак, последовательность $x_n$ имеет две разные предельные точки. Это значит, что она расходится, так как если бы она сходилась, то по прото-задаче П-ссылка имела бы только одну предельную точку. А мы показали, что их две.

Аналогично показывается, что

$$y_n=\frac{1-(-1{)}^n}{2}$$

тоже расходится.

Сходимость $x_n{y}_n$

Найдем предел произведения $x_n$ и $y_n$:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(1+(-1{)}^n)(1-(-1{)}^n)}{4}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2-{\left((-1{)}^2\right)}^n}{4}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2-1^n}{4}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{0}{4}=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0 \end{gathered}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0$$

Итак, на конкретном примере мы показали, что может быть так, что $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0$, но при этом $x_n$ и $y_n$ расходятся.