Пункт а)

Воспользуемся доказанным неравенством б) из задачи 131:

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

По прото-задаче П.19 раз $x_n$ сходится, то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n={\underline{x}}_n$$

Поэтому

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

Итак, $\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)$ лежит между двумя одинаковыми числами, а значит оно и равно им:

$$\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

$■$

Пункт б)

Воспользуемся доказанным