Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 146
Нормальная

Доказать, что последовательность

сходится.

Таким образом, имеет место формула

где — так называемая постоянная Эйлера и при .

Решение

Доказательство сходимости

Докажем, что последовательность фундаментальная, то есть

Рассмотрим неравенство в конце:

Воспользуемся свойством модулей и усилим неравенство (см. прото-задачу П-ссылка):

В прото-задаче П-ссылка мы доказали, что

Поэтому запишем так:

Итак:

Мы можем увеличить кажду дробь справа, уменьшив ее знаменатель до :

Возвращаемся к нашему неравенству с :

Откуда

Итак по определению фундаментальной последовательности, для любого нам достаточно взять по следующей формуле:

Тогда, для любого и будет выполняться

А значит и

Итак, мы доказали, что — фундаментальная последовательность. Согласно критерию Коши любая фундаментальная последовательность сходится. Значит и тоже сходится:

Вывод формулы

Рассмотрим последовательность . Найдем ее предел:

Рассмотрим теперь произвольный член последовательности :

Распишем :

Итак, мы получили формулу из условия. Причем при , как мы показали выше.