Демидович
146

Доказать, что последовательность

сходится.

Таким образом, имеет место формула

где — так называемая постоянная Эйлера и при .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Доказательство сходимости

Докажем, что последовательность фундаментальная, то есть

Рассмотрим неравенство в конце:

Воспользуемся свойством модулей и усилим неравенство (см. прото-задачу П.1):

В прото-задаче П.15 мы доказали, что

Поэтому запишем так:

Итак:

Мы можем увеличить кажду дробь справа, уменьшив ее знаменатель до :

Возвращаемся к нашему неравенству с :

Откуда

Итак по определению фундаментальной последовательности, для любого нам достаточно взять по следующей формуле:

Тогда, для любого и будет выполняться

А значит и

Итак, мы доказали, что — фундаментальная последовательность. Согласно критерию Коши любая фундаментальная последовательность сходится. Значит и тоже сходится:

Вывод формулы

Рассмотрим последовательность . Найдем ее предел:

Рассмотрим теперь произвольный член последовательности :

Распишем :

Итак, мы получили формулу из условия. Причем при , как мы показали выше.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Расходимость гармонического ряда
Доказательство расходимости гармонического ряда с помощью второго замечательного предела.