Представим последовательность в виде разности:

$$\begin{gathered} \frac{1}{n+1}+\dots +\frac{1}{2n}= \\ =\left(1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}+\dots +\frac{1}{2n}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}\right) \end{gathered}$$

В задаче 146 мы вывели формулу

$$1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}=C+\ln n+{\epsilon }_n,$$

причем ${\epsilon }_n\to 0$ при $n\to \infty$.

Применим эту формулу к обоим слагаемым выше:

$$\frac{1}{n+1}+\dots +\frac{1}{2n}=C+\ln 2n+{\epsilon }_{2n}-C-\ln n-{\epsilon }_n$$

$$\frac{1}{n+1}+\dots +\frac{1}{2n}=\ln \left(\frac{2n}{n}\right)+{\epsilon }_{2n}-{\epsilon }_n$$

$$\frac{1}{n+1}+\dots +\frac{1}{2n}=\ln 2+{\epsilon }_{2n}-{\epsilon }_n$$

Найдем теперь предел

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\dots +\frac{1}{2n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }(\ln 2+{\epsilon }_{2n}-{\epsilon }_n)= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\ln 2+\underset{n\to \infty }{\lim }{\epsilon }_{2n}-\underset{n\to \infty }{\lim }{\epsilon }_n=\ln 2+0-0 \end{gathered}$$

Итак

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots +\frac{1}{2n}\right)=\ln 2$$