Представим последовательность в виде разности:
n+11+…+2n1==(1+21+…+n1+…+2n1)−(1+21+…+n1)
В задаче 146 мы вывели формулу
1+21+…+n1=C+lnn+εn,
причем εn→0 при n→∞.
Применим эту формулу к обоим слагаемым выше:
n+11+…+2n1=C+ln2n+ε2n−C−lnn−εn
n+11+…+2n1=ln(n2n)+ε2n−εn
n+11+…+2n1=ln2+ε2n−εn
Найдем теперь предел
n→∞lim(n+11+…+2n1)=n→∞lim(ln2+ε2n−εn)==n→∞limln2+n→∞limε2n−n→∞limεn=ln2+0−0
Итак
n→∞lim(n+11+n+21+…+2n1)=ln2