Демидович
149

Пусть — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:

Доказать, что .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Указание

Пользуясь всегда верным неравенством и данными условия покажите, что .

Рассмотрите отдельно два варианта, когда и когда .

Воспользуйтесь признаком Вейерштрасса (ограниченная и монотонная последовательность сходится) и прото-задачей П.16.

Решение

Поработаем с нулевым элементом последовательности . Следующее неравенство выполняется:

По условию , поэтому мы можем обе части неравенства поделить на :

Итак, пришли к важному неравенству:

Рассмотрим оба варианта:

  • Когда
  • Когда

Если

По методу математической индукции легко доказать, что любой член последовательности будет равен , то есть

Доказательство

База индукции выполняется по условию, так как мы и рассматриваем случай, когда .

Индукционный переход:

Пусть равенство выполняется для какого-то натурального :

Найдем, чему равен член :

Индукционный переход доказан. Значит, доказываемое равенство выполняется для любого натурального .

Предел констатной последовательности равен самой константе, поэтому

Если

По методу математической индукции легко доказать, что вообще все члены последовательности будут строго больше , то есть

Доказательство

База индукции выполняется по условию, так как мы и рассматриваем случай, когда .

Индукционный переход:

Пусть неравенство выполняется для какого-то натурального :

Докажем, что неравенство верно и для :

Равенство здесь достигается только в том случае, когда . Но по индукционному предположению , поэтому выполняется только неравенство.

Индукционный переход доказан. Значит, доказываемое неравенство выполняется для любого натурального .

Мы доказали, что — нижняя граница последовательности .

Покажем теперь, что последовательность убывает, то есть:

Последнее неравенство выполняется, так как ранее мы показали, что любой член последовательности больше .

Итак, последовательность убывает и ограничена снизу. По признаку Вейерштрасса это означает, что она имеет предел. Обозначим этот предел за :

Мы знаем, что предел последовательности не поменяется, если мы отбросим конечное число ее первых членов (см. прото-задачу П.16). Последовательность является последовательностью с отброшенным первым членом. Это означает, что она тоже сходится к тому же пределу:

Но не может равняться , так как все члены последовательности положительные и больше . Для демонстрации этого достаточно взять и ни один член последовательности не окажется в окрестности , что противоречит определению предела.

Остается единственный вариант: . Это означает, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Неизменность предела последовательности
Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.