Задача 149 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

Посмотреть все темы!

I§2Пределы рекуррентов

└─

Главная

└─

Задачи

└─

I. Введение в анализ

└─

§2. Теория последовательностей

└─

Пределы рекуррентов

└─

Задача 149

Нормальная

Пусть $x_{n} (n = 1, 2, \dots)$ — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:

$x_{0} > 0, x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{1}{x _{n}}) (n = 0, 1, 2, \dots) .$

Доказать, что $n \to \infty lim x_{n} = 1$ .

Семён Вдовыкин

Указание

Пользуясь всегда верным неравенством $(a - 1)^{2} \geq 0$ и данными условия покажите, что $x_{1} \geq 1$ .

Рассмотрите отдельно два варианта, когда $x_{1} = 1$ и когда $x_{1} > 1$ .

Воспользуйтесь признаком Вейерштрасса (ограниченная и монотонная последовательность сходится) и прото-задачей П-ссылка.

Решение

Поработаем с нулевым элементом последовательности $x_{0}$ . Следующее неравенство выполняется:

$(x_{0} - 1)^{2} \geq 0 x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 \geq 0$

По условию $x_{0} > 0$ , поэтому мы можем обе части неравенства поделить на $x_{0}$ :

$x_{0} - 2 + \frac{1}{x _{0}} \geq 0 x_{0} + \frac{1}{x _{0}} \geq 2$

$x_{1} = \frac{1}{2} (x_{0} + \frac{1}{x _{0}}) \geq 1$

Итак, пришли к важному неравенству:

$x_{1} \geq 1$

Рассмотрим оба варианта:

Когда $x_{1} = 1$
Когда $x_{1} > 1$

Если $x_{1} = 1$

По методу математической индукции легко доказать, что любой член последовательности будет равен $1$ , то есть

$\forall n \in N : x_{n} = 1$

Доказательство

База индукции выполняется по условию, так как мы и рассматриваем случай, когда $x_{1} = 1$ .

Индукционный переход:

Пусть равенство выполняется для какого-то натурального $k$ :

$x_{k} = 1$

Найдем, чему равен член $x_{k + 1}$ :

$x_{k + 1} = \frac{1}{2} (x_{k} + \frac{1}{x _{k}}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{1}) = 1$

Индукционный переход доказан. Значит, доказываемое равенство выполняется для любого натурального $n$ .

$■$

редел констатной последовательности равен самой константе, поэтому

$n \to \infty lim x_{n} = 1$

$■$

Если $x_{1} > 1$

По методу математической индукции легко доказать, что вообще все члены последовательности будут строго больше $1$ , то есть

$\forall n \in N : x_{n} > 1$

Доказательство

База индукции выполняется по условию, так как мы и рассматриваем случай, когда $x_{1} > 1$ .

Индукционный переход:

Пусть неравенство выполняется для какого-то натурального $k$ :

$x_{k} > 1$

Докажем, что неравенство верно и для $x_{k + 1}$ :

$x_{k + 1} = \frac{1}{2} (x_{k} + \frac{1}{x _{k}}) > 1 x_{k} + \frac{1}{x _{k}} > 2 x_{k}^{2} - 2 x_{k} + 1 > 0 (x_{k} - 1)^{2} > 0$

Равенство здесь достигается только в том случае, когда $x_{k} = 1$ . Но по индукционному предположению $x_{k} > 1$ , поэтому выполняется только неравенство.

Индукционный переход доказан. Значит, доказываемое неравенство выполняется для любого натурального $n$ .

$■$

ы доказали, что

1

— нижняя граница последовательности

x_{n}

Покажем теперь, что последовательность $x_{n}$ убывает, то есть:

$x_{n + 1} < x_{n} \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{1}{x _{n}}) < x_{n} x_{n} + \frac{1}{x _{n}} < 2 x_{n} \frac{1}{x _{n}} < x_{n}$

$x_{n}^{2} > 1$

Последнее неравенство выполняется, так как ранее мы показали, что любой член последовательности больше $1$ .

Итак, последовательность $x_{n}$ убывает и ограничена снизу. По признаку Вейерштрасса это означает, что она имеет предел. Обозначим этот предел за $L$ :

$n \to \infty lim x_{n} = L$

Мы знаем, что предел последовательности не поменяется, если мы отбросим конечное число ее первых членов (см. прото-задачу П-ссылка). Последовательность $x_{n + 1}$ является последовательностью $x_{n}$ с отброшенным первым членом. Это означает, что она тоже сходится к тому же пределу:

$L = n \to \infty lim x_{n} = n \to \infty lim x_{n + 1} = n \to \infty lim \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{1}{x _{n}}) L = \frac{1}{2} (n \to \infty lim x_{n} + \frac{1}{n \to \infty lim x _{n}}) = \frac{1}{2} (L + \frac{1}{L})$

$2 L = L + \frac{1}{L} L = \frac{1}{L} L^{2} = 1 ∣ L ∣ = 1 L = \pm 1$

Но $L$ не может равняться $- 1$ , так как все члены последовательности положительные и больше $1$ . Для демонстрации этого достаточно взять $ε = 0.5$ и ни один член последовательности $x_{n}$ не окажется в окрестности $(- 1.5, - 0.5)$ , что противоречит определению предела.

Остается единственный вариант: $L = 1$ . Это означает, что

$n \to \infty lim x_{n} = 1$

$■$

Зависимости

Неизменность предела последовательности

Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.

148 150

Если x1​=1

Если x1​>1

Если $x_{1} = 1$

Если $x_{1} > 1$