Неизменность предела последовательности

Пусть $x_{n}$ — произвольная последовательность. Пусть $y_{n}$ — последовательность, полученная из $x_{n}$ путем отбрасывания конечного числа $k$ первых элементов.

Теорема

Если $y_{n}$ сходится, то $x_{n}$ сходится и имеет тот же предел, и наоборот.

||| proof

Дописать!

Сначала разберемся с терминологией. Последовательность $y_{n}$ мы получили, отбросив $k$ первых элементов из последовательности $x_{n}$ .

Это означает, что последовательность $x_{n}$ как бы «смещена» вперед на $k$ позиций относительно последовательности $y_{n}$ . Вот несколько примеров:

$y_{1} = x_{1 + k} y_{2} = x_{2 + k} \dots$

В общем виде это можно записать так:

$y_{n} = x_{n + k} (0)$

Это равенство математически выражает тот факт, что последовательность $y_{n}$ есть последовательность $x_{n}$ , из которой отбросили первые $k$ элементов.

Пусть $y_{n} \to A$ . Распишем по определению, что это означает:

$\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ y_{n} ∣ < ε$

Но раз определение выполняется для какого-то натурального числа $N$ , то оно будет выполняться и для числа $N + k$ .

Зависимые задачи

58 59 62 71 78 92 110 149 150

Связи в справке

Используется в

Отношение степенной и показательной последовательностей

Предел отношения степенной и показательной последовательностей равен 0.