Доказать, что последовательности и , определяемые следующими формулами:
имеют общий предел
(арифметико-геометрическое средее чисел и ).
Доказать, что последовательности и , определяемые следующими формулами:
имеют общий предел
(арифметико-геометрическое средее чисел и ).
Определите, какие знаки должны иметь и .
Рассмотрите отдельно случаи, когда и .
Проверьте обе последовательности на монотонность и ограниченность. Докажите, что среднее геометрическое всегда меньше среднего арифметического. Воспользуйтесь прото-задачей П.16.
Обратим внимание на то, что в формуле последовательности берется квадратный корень из членов последовательностей и . По определению квадратного корня это означает, что
Это означает, что и имеют одинаковые знаки: оба положительные, либо оба отрицательные. В частности, это означает, что и должны быть одного знака.
Если , то все члены обеих последовательностей тоже .
Теперь предположим, что . Тогда и , то есть и имеют разные знаки. На этапе вычисления это приводит к противоречию, так как нельзя взять квадратный корень из отрицательного числа:
Поэтому все дальнейшие рассуждения будем проводить для неотрицательных и :
Если , то, по условию, . По формулам сразу видим, что и . По методу математической индукции элементарным образом можно доказать, что обе последовательности совпадают и равны одному числу.
Константные последовательности имеют предел, равный их константе, поэтому:
Замечаем, что обозначения последовательностей в условии можно без всяких последствий поменять местами. Поэтому можно без ограничения общности считать, что . В противном случае достаточно обозначить за и наоборот. Тогда неравенство будет выполняться.
Найдем и :
Среднее арифметическое двух чисел всегда не меньше среднего геометрического:
Возведем обе части в квадрат:
Тут же замечаем, что равенство получаем, когда .
Замечаем, что последовательность является последовательностью средних арифметических, а — последовательностью средних геометрических, поэтому выполняется следующее неравенство:
В частности:
Случай равенства исключается, так как мы рассмотрели его в начале решения.
Объединяя все рассуждения выше, получаем цепное неравенство:
Проводя аналогичные рассуждения, получим следующее неравенство:
Можем сделать три вывода:
Докажем, что последовательность возрастает:
Последнее неравенство, как мы показали выше, выполняется.
Докажем, что последовательность убывает:
Вновь свели к выполняющемуся неравенству.
Мы доказали, что последовательность возрастает, а также, что для любого имеет место неравенство . Но раз убывает, то будет наибольшим членом последовательности . Значит, для любого выполняется следующее неравенство:
Опуская промежуточные неравенства, переходим к сути:
Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху числом .
Аналогичные рассуждения можно провести и для последовательности . Тогда получим неравенство:
Итак, последовательность убывает и ограничена снизу числом .
По признаку Вейерштрасса (монотонная и ограниченная последовательность сходится) последовательности и сходятся и имеют пределы и соответственно.
Сразу отметим, что последовательности и представляют собой последовательности и с отброшенным первым членом, а потому имеют тот же самый предел (см. прото-задачу П.16):
Нам нужно доказать последовательности имеют общий предел. Для этого найдем предел их разности:
Получаем следующее равенство:
Мы доказали, что последовательности и имеют один и тот же предел: