Демидович
150

Доказать, что последовательности и , определяемые следующими формулами:

имеют общий предел

(арифметико-геометрическое средее чисел и ).

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Указание

Определите, какие знаки должны иметь и .

Рассмотрите отдельно случаи, когда и .

Проверьте обе последовательности на монотонность и ограниченность. Докажите, что среднее геометрическое всегда меньше среднего арифметического. Воспользуйтесь прото-задачей П.16.

Решение

Обратим внимание на то, что в формуле последовательности берется квадратный корень из членов последовательностей и . По определению квадратного корня это означает, что

Это означает, что и имеют одинаковые знаки: оба положительные, либо оба отрицательные. В частности, это означает, что и должны быть одного знака.

Если , то все члены обеих последовательностей тоже .

Теперь предположим, что . Тогда и , то есть и имеют разные знаки. На этапе вычисления это приводит к противоречию, так как нельзя взять квадратный корень из отрицательного числа:

Поэтому все дальнейшие рассуждения будем проводить для неотрицательных и :

Если

Если , то, по условию, . По формулам сразу видим, что и . По методу математической индукции элементарным образом можно доказать, что обе последовательности совпадают и равны одному числу.

Константные последовательности имеют предел, равный их константе, поэтому:

Если

Замечаем, что обозначения последовательностей в условии можно без всяких последствий поменять местами. Поэтому можно без ограничения общности считать, что . В противном случае достаточно обозначить за и наоборот. Тогда неравенство будет выполняться.

Найдем и :

Среднее арифметическое двух чисел всегда не меньше среднего геометрического:

Доказательство

Возведем обе части в квадрат:

Тут же замечаем, что равенство получаем, когда .

Замечаем, что последовательность является последовательностью средних арифметических, а — последовательностью средних геометрических, поэтому выполняется следующее неравенство:

В частности:

Случай равенства исключается, так как мы рассмотрели его в начале решения.

Объединяя все рассуждения выше, получаем цепное неравенство:

Проводя аналогичные рассуждения, получим следующее неравенство:

Можем сделать три вывода:

  1. Последовательность возрастает и ограничена сверху последовательностью , в частности числом
  2. Последовательность убывает и ограничена снизу последовательностью , в частности числом
Доказательство выводов 1 и 2

Докажем, что последовательность возрастает:

Последнее неравенство, как мы показали выше, выполняется.

Докажем, что последовательность убывает:

Вновь свели к выполняющемуся неравенству.


Мы доказали, что последовательность возрастает, а также, что для любого имеет место неравенство . Но раз убывает, то будет наибольшим членом последовательности . Значит, для любого выполняется следующее неравенство:

Опуская промежуточные неравенства, переходим к сути:

Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху числом .

Аналогичные рассуждения можно провести и для последовательности . Тогда получим неравенство:

Итак, последовательность убывает и ограничена снизу числом .

По признаку Вейерштрасса (монотонная и ограниченная последовательность сходится) последовательности и сходятся и имеют пределы и соответственно.

Сразу отметим, что последовательности и представляют собой последовательности и с отброшенным первым членом, а потому имеют тот же самый предел (см. прото-задачу П.16):

Нам нужно доказать последовательности имеют общий предел. Для этого найдем предел их разности:

Получаем следующее равенство:

Мы доказали, что последовательности и имеют один и тот же предел:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Неизменность предела последовательности
Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.