Так как мы берем корень второй степени из синуса, то сам синус должен быть неотрицательным.

$$\sin (\sqrt{x})\ge 0$$

По определению синус неотрицательный в верхней полуокружности, то есть

$$\begin{gathered} 2\pi k\le \sqrt{x}\le \pi +2\pi k \\ 2\pi k\le \sqrt{x}\le \pi (2k+1) \end{gathered}$$

$\sqrt{x}$ в центре не может быть отрицательным, поэтому $k=0,1,2,\dots$:

$$2\pi k\le \sqrt{x}\le \pi (2k+1),k=0,1,\dots$$

Возведем все части неравенства в квадрат (мы можем это сделать, так как все части неравенства не могут быть отрицательными):

$$4{\pi }^2{k}^2\le x\le {\pi }^2(2k+1{)}^2$$

при $k=0,1,2\dots$.

Полученное неравенство и является искомой областью определения функции $y$.