Арксинус является обратной тригонометрической функцией синуса, то есть в качестве переменной принимает значения синуса и на выходе получаем угол.

Из определения синуса его значения всегда лежат в пределах от $-1$ до $1$ включительно:

$$-1\le \frac{2x}{1+x}\le 1$$

Это цепное неравенство можно представить в виде двух одновременно выполняющихся неравенств:

$$\{\begin{array}{l}-1\le \frac{2x}{1+x}\\ \frac{2x}{1+x}\le 1\end{array}$$

Рассмотрим первое неравенство:

$$-1\le \frac{2x}{1+x}$$

$$\frac{2x}{x+1}+1\ge 0$$

$$\frac{3x+1}{x+1}\ge 0$$

Вынесем в числителе за скобку число $3$:

$$\frac{3\left(x+\frac{1}{3}\right)}{x+1}\ge 0$$

По методу интервалов:

$$x\in (-\infty ,-1)\cup \left[-\frac{1}{3},+\infty \right]$$

Теперь разберемся со вторым неравенством:

$$\frac{2x}{1+x}\le 1$$

$$\frac{2x}{x+1}-1\le 0$$

$$\frac{x-1}{x+1}\le 0$$

По методу интервало:

$$x\in (-1,1]$$

Итак, областью определения функции $y$ будет пересечение найденных интервалов для двух неравенств:

$$X=\left[-\frac{1}{3},1\right]$$