Разложим подыинтегральную функцию с помощью формулы куба разности:

$$(3-x^2{)}^3=27-27x^2+9x^4-x^6$$

Тогда интеграл из условия примет следующий вид:

$$\int (3-x^2{)}^{3}dx=\int (27-27x^2+9x^4-x^6)dx=\dots$$

Воспользуемся тем, что интеграл суммы равен сумме интегралов :

$$\dots =\int 27dx-\int 27x^{2}dx+\int 9x^{4}dx-\int x^{6}dx=\dots$$

Выносим константы за знак интеграла:

$$\dots =27\int dx-27\int x^{2}dx+9\int x^{4}dx-\int x^{6}dx=\dots$$

Теперь в каждом слагаемом используем следующий табличный интеграл:

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$$

$$\begin{gathered} \dots =27x-27\frac{x^3}{3}+9\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+C= \\ =27x-9x^3+\frac{9x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+C \end{gathered}$$