По определению котангенса:

$$\mathrm{ctg}\pi x=\frac{\cos \pi x}{\sin \pi x}$$

Нужно, чтобы $\sin \pi x$ не равнялся $0$. По определению синуса он равен $0$ в углах $\pi k$, где $k\in \mathbb{Z}$. То есть,

$$\begin{gathered} \pi x\ne \pi k,k\in \mathbb{Z} \\ x\ne k,k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

Арккосинус является обратной тригонометрической функцией косинуса, то есть в качестве переменной принимает значения косинуса и на выходе получаем угол.

Из определения косинуса его значения всегда лежат в пределах от $-1$ до $1$ включительно, поэтому:

$$-1\le 2^x\le 1$$

В какую бы степень мы не возвели число $2$, оно никогда не будет отрицательным, поэтому левая часть неравенства всегда выполняется. Остается

$$2^x\le 1$$

Прологарифмируем это неравенство по основанию $2$:

$${\log }_2{2}^x\le {\log }_{2}1$$

$$x\le 0$$

С учетом того, что $x$ не может быть целым числом, получаем неравенство:

$$x<0$$

Итак, область определения функции $y$ — отрицательные вещественные числа, за исключением целых чисел:

$$X=\left\{x\in \mathbb{R}:x<0\wedge x\ne -1,-2,\dots \right\}$$