Сразу проверим, может ли $y$ принимать значение $0$:

$$0=\frac{1}{1-x}$$

Видим, что какое бы значение $x$ не принимал, $0$ в результате никак не получится. Поэтому $0$ не принадлежит множеству значений, которые пробегает $y$.

Выразим $x$ из выражения из условия:

$$y=\frac{1}{1-x}$$

Умножаем обе части равенства на $1-x$:

$$\begin{gathered} y(1-x)=1 \\ y-yx=1 \\ y=1+yx \\ yx=y-1 \end{gathered}$$

Сейчас нам нужно разделить обе части равенства на $y$. Можно не бояться деления на $0$, так как в начале решения мы выяснили, что он точно не входит в список значений для $y$.

$$x=\frac{y-1}{y}$$

В условии сказано, что $0<x<1$. Заменим в этом неравенстве $x$ на найденную формулу выше:

$$0<\frac{y-1}{y}<1$$

Это неравенство можно перезаписать в виде двух отдельных:

$$\{\begin{array}{l}0<\frac{y-1}{y}\\ \frac{y-1}{y}<1\end{array}$$

Рассмотрим каждое из них по отдельности.

Первое неравенство

$$0<\frac{y-1}{y}$$

Пусть $y>0$. Умножаем обе части неравенства на $y$:

$$\begin{gathered} 0<y-1 \\ y>1 \end{gathered}$$

Пусть $y<0$. Умножаем обе части неравенства на $y$ (с заменой знака, так как умножаем на отрциательное число):

$$\begin{gathered} 0>y-1 \\ y<1 \end{gathered}$$

Заметьте, что несмотря на то что последнее неравенство позволяет $y$ принимать значения из интверала $(0,1)$, на самом деле $y$ таких значений принимать не может, так как это само это неравенство было получено путем рассмотрения только отрицательных $y$.

Итог, мы провели преобразования и выяснили, какие значения может принимать $y$:

$$0<\frac{y-1}{y}\iff [\begin{array}{l}y>1\\ y<0\end{array}$$

Второе неравенство

$$\frac{y-1}{y}<1$$

Пусть $y>0$. Умножаем обе части неравенства на $y$:

$$\begin{gathered} y-1<y \\ -1<0 \end{gathered}$$

Это означает, что любые положительные $y$ удовлетворяют этому неравенству.

Пусть $y<0$. Умножаем обе части неравенства на $y$ с изменением знака:

$$\begin{gathered} y-1>y \\ -1>0 \end{gathered}$$

Итак, при любом отрицательном $y$ неравенство неравенство не выполняется.

Итог:

$$\frac{y-1}{y}<1\iff y>0$$

Итог

Итак, $y$ должен удовлетворять одновременно следующим критериям:

$$[\begin{array}{l}y>1\\ y<0\end{array}\text{и}y>0$$

Замечаем, что отрицательных $y$, которые позволяет критерий слева, не может быть из-за ограничений правого критерия. Сразу обоим критериям удовлетворяет только одно неравенство:

$$y>1$$

Другими словами, $y$ пробегает интервал:

$$1<y<+\infty$$