Демидович
184

Переменная пробегает интервал . Определить, какое множество пробегает переменная , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Из данной в условии формулы для выразите . Затем подставьте найденное выражение для в неравенство для .

Решение

Сразу проверим, может ли принимать значение :

Видим, что какое бы значение не принимал, в результате никак не получится. Поэтому не принадлежит множеству значений, которые пробегает .


Выразим из выражения из условия:

Умножаем обе части равенства на :

Сейчас нам нужно разделить обе части равенства на . Можно не бояться деления на , так как в начале решения мы выяснили, что он точно не входит в список значений для .

В условии сказано, что . Заменим в этом неравенстве на найденную формулу выше:

Это неравенство можно перезаписать в виде двух отдельных:

Рассмотрим каждое из них по отдельности.

Первое неравенство

Пусть . Умножаем обе части неравенства на :

Пусть . Умножаем обе части неравенства на (с заменой знака, так как умножаем на отрциательное число):

Заметьте, что несмотря на то что последнее неравенство позволяет принимать значения из интверала , на самом деле таких значений принимать не может, так как это само это неравенство было получено путем рассмотрения только отрицательных .

Итог, мы провели преобразования и выяснили, какие значения может принимать :

Второе неравенство

Пусть . Умножаем обе части неравенства на :

Это означает, что любые положительные удовлетворяют этому неравенству.

Пусть . Умножаем обе части неравенства на с изменением знака:

Итак, при любом отрицательном неравенство неравенство не выполняется.

Итог:

Итог

Итак, должен удовлетворять одновременно следующим критериям:

Замечаем, что отрицательных , которые позволяет критерий слева, не может быть из-за ограничений правого критерия. Сразу обоим критериям удовлетворяет только одно неравенство:

Другими словами, пробегает интервал:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!