Задача 185 — Демидович

I§3Подмножества значений функций

└─

Главная

└─

Задачи

└─

I. Введение в анализ

└─

§3. Понятие функции

└─

Подмножества значений функций

└─

Задача 185

Нормальная

Переменная

x

пробегает интервал

0 < x < 1

. Определить, какое множество пробегает переменная

y

, если:

$y = \frac{x}{2 x - 1}$

Ответ

${- \infty < y < 0 1 < y < + \infty$

Петр Радько

Указание

Из данной в условии формулы для $y$ выразите $x$ . Затем подставьте найденное выражение для $x$ в неравенство для $x$ .

Решение

Выразим $x$ из выражения из условия:

$y = \frac{x}{2 x - 1}$

Умножаем обе части равенства на $2 x - 1$ :

$y (2 x - 1) = x 2 x y - y = x 2 x y - x = y x (2 y - 1) = y$

Далее на надо разделить обе части равенства на $2 y - 1$ , но прежде надо убедиться, что не возникнет деления на ноль.

Проверка деления на ноль

Найдем, при каком значении $y$ выражение $2 y - 1$ равно $0$ :

$2 y - 1 = 0 2 y = 1 y = \frac{1}{2}$

Убедимся, что $\frac{1}{2}$ не принадлежит множеству значений, которое пробегает $y$ . Докажем от противного. Пусть существует некоторый $x^{'}$ , такой, что:

$\frac{1}{2} = \frac{x ^{'}}{2 x ^{'} - 1}$

Умножаем обе части равенства на $2 (2 x^{'} - 1)$ :

$2 x^{'} - 1 = 2 x^{'} - 1 = 0$

Пришли к противоречию. Это означает, что не существует такого $x$ , чтобы $y = \frac{1}{2}$ .

Итак, мы показали, что на выражение $2 y - 1$ спокойно можно делить, оно не будет равно $0$ .

$x = \frac{y}{2 y - 1}$

В условии сказано, что $0 < x < 1$ . Заменим в этом неравенстве $x$ на найденную формулу выше:

$0 < \frac{y}{2 y - 1} < 1$

Это неравенство можно перезаписать в виде двух отдельных:

${0 < \frac{y}{2 y - 1} \frac{y}{2 y - 1} < 1$

Рассмотрим каждое из них по отдельности.

Первое неравенство

$0 < \frac{y}{2 y - 1}$

Пусть $2 y - 1 > 0$ , то есть пусть $y > \frac{1}{2}$ . Умножаем все части на $2 y - 1$ :

$0 < y$

Итак, $y > 0$ и $y > \frac{1}{2}$ . Можно оставить только второе условие, как более сильное:

$y > \frac{1}{2}$

Пусть $2 y - 1 < 0$ , то есть пусть $y < \frac{1}{2}$ . Умножаем все части на $2 y - 1$ с заменой знака неравенства:

$0 > y$

Итак, $y < 0$ и $y < \frac{1}{2}$ . Можно оставить только первое условие, как более сильное:

$y < 0$

Итог по первому неравенству:

$[y > \frac{1}{2} y < 0$

Второе неравенство

$\frac{y}{2 y - 1} < 1$

Пусть $2 y - 1 > 0$ , то есть пусть $y > \frac{1}{2}$ . Умножаем все части на $2 y - 1$ :

$y < 2 y - 1 1 < y$

Итак, $y > 1$ и $y > \frac{1}{2}$ . Можно оставить только первое условие, как более сильное:

$y > 1$

Пусть $2 y - 1 < 0$ , то есть пусть $y < \frac{1}{2}$ . Умножаем все части на $2 y - 1$ с заменой знака неравенства:

$y > 2 y - 1 1 > y$

Итак, $y < 1$ и $y < \frac{1}{2}$ . Можно оставить только второе условие, как более сильное:

$y < \frac{1}{2}$

Итог по второму неравенству:

$[y < \frac{1}{2} y > 1$

Итог

Итак, $y$ должен удовлетворять следующим критериям:

$[y > \frac{1}{2} y < 0 и [y < \frac{1}{2} y > 1$

Для удобства изобразим эти критерии на оси. Критерий слева сверху от оси, критерий справа — снизу:

График

Видим, что штриховки сверху и снизу совпадают на промежутках $(- \infty, 0)$ и $(1, + \infty)$ .

Это означает, что $y$ проблегает множество:

${- \infty < y < 0 1 < y < + \infty$

184 186