Демидович
185

Переменная пробегает интервал . Определить, какое множество пробегает переменная , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Из данной в условии формулы для выразите . Затем подставьте найденное выражение для в неравенство для .

Решение

Выразим из выражения из условия:

Умножаем обе части равенства на :

Далее на надо разделить обе части равенства на , но прежде надо убедиться, что не возникнет деления на ноль.

Проверка деления на ноль

Найдем, при каком значении выражение равно :

Убедимся, что не принадлежит множеству значений, которое пробегает . Докажем от противного. Пусть существует некоторый , такой, что:

Умножаем обе части равенства на :

Пришли к противоречию. Это означает, что не существует такого , чтобы .

Итак, мы показали, что на выражение спокойно можно делить, оно не будет равно .

В условии сказано, что . Заменим в этом неравенстве на найденную формулу выше:

Это неравенство можно перезаписать в виде двух отдельных:

Рассмотрим каждое из них по отдельности.

Первое неравенство

Пусть , то есть пусть . Умножаем все части на :

Итак, и . Можно оставить только второе условие, как более сильное:

Пусть , то есть пусть . Умножаем все части на с заменой знака неравенства:

Итак, и . Можно оставить только первое условие, как более сильное:

Итог по первому неравенству:

Второе неравенство

Пусть , то есть пусть . Умножаем все части на :

Итак, и . Можно оставить только первое условие, как более сильное:

Пусть , то есть пусть . Умножаем все части на с заменой знака неравенства:

Итак, и . Можно оставить только второе условие, как более сильное:

Итог по второму неравенству:

Итог

Итак, должен удовлетворять следующим критериям:

Для удобства изобразим эти критерии на оси. Критерий слева сверху от оси, критерий справа — снизу:

График

Видим, что штриховки сверху и снизу совпадают на промежутках и .

Это означает, что проблегает множество:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!