Переменная пробегает интервал . Определить, какое множество пробегает переменная , если:
Из данной в условии формулы для выразите . Затем подставьте найденное выражение для в неравенство для .
Выразим из выражения из условия:
Умножаем обе части равенства на :
Далее на надо разделить обе части равенства на , но прежде надо убедиться, что не возникнет деления на ноль.
Найдем, при каком значении выражение равно :
Убедимся, что не принадлежит множеству значений, которое пробегает . Докажем от противного. Пусть существует некоторый , такой, что:
Умножаем обе части равенства на :
Пришли к противоречию. Это означает, что не существует такого , чтобы .
Итак, мы показали, что на выражение спокойно можно делить, оно не будет равно .
В условии сказано, что . Заменим в этом неравенстве на найденную формулу выше:
Это неравенство можно перезаписать в виде двух отдельных:
Рассмотрим каждое из них по отдельности.
Первое неравенство
Пусть , то есть пусть . Умножаем все части на :
Итак, и . Можно оставить только второе условие, как более сильное:
Пусть , то есть пусть . Умножаем все части на с заменой знака неравенства:
Итак, и . Можно оставить только первое условие, как более сильное:
Итог по первому неравенству:
Второе неравенство
Пусть , то есть пусть . Умножаем все части на :
Итак, и . Можно оставить только первое условие, как более сильное:
Пусть , то есть пусть . Умножаем все части на с заменой знака неравенства:
Итак, и . Можно оставить только второе условие, как более сильное:
Итог по второму неравенству:
Итог
Итак, должен удовлетворять следующим критериям:
Для удобства изобразим эти критерии на оси. Критерий слева сверху от оси, критерий справа — снизу:
Видим, что штриховки сверху и снизу совпадают на промежутках и .
Это означает, что проблегает множество: