Видим, что $y$ является результатом взятия корня из какого-то числа. Это сразу накладывает ограничение на значения, которые может принимать $y$:

$$y\ge 0$$

Выразим $x$ из выражения из условия:

$$y=\sqrt{x-x^2}$$

Возводим обе части равенства в квадрат:

$$y^2=x-x^2$$

Умножаем обе части на $-1$:

$$-y^2=x^2-x$$

В правой части выполним дополнение до полного квадрата:

$$\begin{gathered} -y^2={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4}-y^2={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2 \end{gathered}$$

Тут важный момент. Брать корень мы можем только тогда, когда левая часть не меньше $0$, поэтому

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}-y^2\ge 0 \\ {y}^2\le \frac{1}{4} \\ |y|\le \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Упростим это неравенство с модулем (см. прото-задачу П-ссылка):

$$-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}$$

Вспоминаем, что в начале решения получили ограничение $y\ge 0$, поэтому ограничения на значения $y$ теперь выглядят вот так:

$$0\le y\le \frac{1}{2}$$

Возвращаемся к нашим преобрзованиям с $x$ и $y$, и уже спокойно берем квадратный корень от обеих частей равенства:

$$\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}=\left|x-\frac{1}{2}\right|$$

Теперь нужно избавиться от модуля.

Если $x-\frac{1}{2}\ge 0$

Итак,

$$\begin{gathered} x-\frac{1}{2}\ge 0 \\ x\ge \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Тогда

$$\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}=x-\frac{1}{2}$$

$$x=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}$$

В условии сказано, что $0<x<1$. Но у нас есть еще одно ограничение на $x$, поэтому получаем:

$$\frac{1}{2}\le x<1$$

Заменим $x$ на найденное выше выражение:

$$\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}<1$$

Вычтем из всех частей неравенства $\frac{1}{2}$:

$$0\le \sqrt{\frac{1}{4}-y^2}<\frac{1}{2}$$

Левая часть неравенства выполняется при любом $y$, поэтому в силе до сих пор остается ограничение на $y$, которое мы находили ранее. Поэтому рассмотрим только правую часть:

$$\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}<\frac{1}{2}$$

Возводим в квадрат обе части неравенства:

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}-y^2<\frac{1}{4} \\ -y^2<0 \end{gathered}$$

Умножаем обе части на $-1$:

$$y^2>0$$

Берем квадратный корень из обеих частей:

$$|y|>0$$

Упрощаем это неравенство по прото-задаче П-ссылка:

$$[\begin{array}{l}y>0\\ y<0\end{array}$$

Вспоминаем ограничение на $y$, которое мы нашли ранее:

$$0\le y\le \frac{1}{2}$$

Объединяя эти результаты, получаем следующее ограничение на значения $y$:

$$0<y\le \frac{1}{2}$$

Если $x-\frac{1}{2}<0$

Итак,

$$\begin{gathered} x-\frac{1}{2}<0 \\ x<\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Тогда

$$\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}=-x+\frac{1}{2}$$

$$x=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}$$

В условии сказано, что $0<x<1$. Но у нас есть еще одно ограничение на $x$, поэтому получаем:

$$0<x<\frac{1}{2}$$

Заменим $x$ на найденное выше выражение:

$$\begin{gathered} 0<\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}<\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}<-\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}<0 \end{gathered}$$

Умножаем на $-1$ все части неравенства:

$$0<\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}<\frac{1}{2}$$

Получили неравенство, которое мы рассматривали при $x\ge 0$. Никаких дополнительных ограничений на $y$ тут не будет.

Итог

Итак, $y$ пробегает множество:

$$0<y\le \frac{1}{2}$$