Рассмотрим, чему равна следующая функция с произвольным $t$:

$$\begin{gathered} f(x+t)=a(x+t{)}^2+b(x+t)+c= \\ =a{x}^2+2axt+a{t}^2+bx+bt+c= \\ =(a{x}^2+bx+c)+2axt+a{t}^2+bt \end{gathered}$$

Замечаем, что выражение в скобке и является $f(x)$, поэтому

$$f(x+t)=f(x)+2axt+a{t}^2+bt$$

---

В доказываемом выражении рассмотрим первое $f(x+3)$ и последнее $-f(x)$ слагаемые. Будем пользоваться найденной в начале решения формулой:

$$\begin{gathered} f(x+3)-f(x)=f(x)+6ax+9a+3b-f(x)= \\ =6ax+9a+3b \end{gathered}$$

Теперь рассмотрим середину левой части доказываемого тождества:

$$\begin{gathered} -3f(x+2)+3f(x+1)=3\left(f(x+1)-f(x+2)\right)= \\ =3\left(f(x)+2ax+a+b-f(x)-4ax-4a-2b\right)= \\ =3\left(-2ax-3a-b\right)=-6ax-9a-3b \end{gathered}$$

Складываем оба полученных результата:

$$(6ax+9a+3b)+(-6ax-9a-3b)=0$$

В итоге получаем, что

$$0\equiv 0$$