Задача 195 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Найти $φ (x) = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ , если:

$а) f (x) = a x + b; б) f (x) = x^{2}; в) f (x) = a^{x}$

Ответ

Пункт а)

$φ (x) = a$

$φ (x) = 2 x + h$

$φ (x) = a^{x} (\frac{a ^{h} - 1}{h})$

Указание

Просто подставляйте $f (x)$ в формулу $φ (x)$ с соответствующими аргументами.

Решение

$f (x) = a x + b f (x + h) = a (x + h) + b = a x + ah + b$

Поэтому

$φ (x) = \frac{a x + ah + b - a x - b}{h} = \frac{ah}{h} = a$

$φ (x) = a$

$f (x) = x^{2} f (x + h) = (x + h)^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$

Поэтому

$φ (x) = \frac{x ^{2} + 2 x h + h ^{2} - x ^{2}}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h} = 2 x + h$

$φ (x) = 2 x + h$

$f (x) = a^{x} f (x + h) = a^{x + h} = a^{x} a^{h}$

Поэтому

$φ (x) = \frac{a ^{x} a ^{h} - a ^{x}}{h} = a^{x} (\frac{a ^{h} - 1}{h})$

$φ (x) = a^{x} (\frac{a ^{h} - 1}{h})$