Задача 201 — Демидович

I§3Функции и прогрессии

└─

Главная

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Доказать, что если для линейной функции

$f (x) = a x + b$

значения аргумента $x = x_{n} (n = 1, 2, \dots)$ образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции $y_{n} = f (x_{n}) (n = 1, 2, \dots)$ образуют также арифметическую прогрессию.

Петр Радько

Указание

Просто подставьте формулу для $n$ -го члена $x_{n}$ в $y_{n} = f (x_{n})$ .

Решение

Если $x_{n}$ является арифметической прогрессией, то есть такие две константы $x_{1}$ и $d$ , что:

$x_{n} = x_{1} + d (n - 1)$

Подставляем эту формулу в $y_{n}$ :

$y_{n} = f (x_{n}) = a (x_{1} + d (n - 1)) + b y_{n} = a x_{1} + a d (n - 1) + b y_{n} = y_{1} a x_{1} + b + d_{y} a d (n - 1)$

Итак:

$y_{n} = y_{1} + d_{y} (n - 1),$

причем $y_{1}$ и $d_{y}$ — константы. Это по определению означает, что $y_{n}$ — арифметическая прогрессия.

$■$

200 202