Если $x_n$ является арифметической прогрессией, то есть такие две константы $x_1$ и $d$, что:

$$x_n=x_1+d(n-1)$$

Подставляем эту формулу в $y_n$:

$$\begin{gathered} y_n=f(x_n)=a(x_1+d(n-1))+b \\ {y}_n=a{x}_1+ad(n-1)+b \\ {y}_n=\underset{y_1}{\underbrace{a{x}_1+b}}+\underset{d_y}{\underbrace{ad}}(n-1) \end{gathered}$$

Итак:

$$y_n=y_1+d_y(n-1),$$

причем $y_1$ и $d_y$ — константы. Это по определению означает, что $y_n$ — арифметическая прогрессия.

$■$