Так как $f(0)=15$, то, заменяя $f(0)$ на соответствующую функцию:

$$\begin{gathered} a+b{c}^0=15 \\ a+b=15 \end{gathered}$$

Далее, используя данные в условии значения, составим систему уравнений с тремя неизвестными:

$$\{\begin{array}{l}a+b=15\\ a+b{c}^2=30\\ a+b{c}^4=90\end{array}$$

Из второго уравнения выразим $c^2$:

$$c^2=\frac{30-a}{b}$$

Подставим это значение в третье уравнение в системе:

$$\begin{gathered} a+b{\left(\frac{30-a}{b}\right)}^2=90 \\ a+\frac{b}{b^2}(30-a{)}^2=90 \\ a+\frac{(30-a{)}^2}{b}=90 \end{gathered}$$

Из первого уравнения выражаем $b=15-a$ и подставляем в выражение выше:

$$\begin{gathered} a+\frac{(30-a{)}^2}{15-a}=90 \\ (30-a{)}^2=(90-a)(15-a) \end{gathered}$$

Раскроем скобки:

$$\begin{gathered} 900-60a+a^2=1350-90a-15a+a^2 \\ 900-60a=1350-105a \\ 45a=450 \\ a=10 \end{gathered}$$

Сразу же по $b=15-a$ находим значение $b$:

$$b=5$$

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу для $c^2$:

$$\begin{gathered} c^2=\frac{30-10}{5}=\frac{20}{5}=4 \\ {c}^2=4 \end{gathered}$$

Получаем, что $c$ может равняться $2$ или $-2$. В контексте нашей задачи $c$ не может быть отрицательным (показательная функция определяется для неотрицательного основания), поэтому $c=2$.

Итак, искомая функция имеет вид:

$$f(x)=10+5\cdot 2^x$$