Задача 203 — Демидович

Указание

Формулировка задачи может ввести в заблуждение. По сути, от вас требуется изолировать $x$ в центре следующих трех неравенств:

$0 < sin x < 1 0 < ln x < 1 0 < \frac{[ x ]}{x} < 1$

Решение

Пункт а)

$0 < sin x < 1$

По определению функция $sin$ принимает положительные значения на интервалах:

$(- 2 π, π)$
$(0, π)$
$(2 π, 3 π)$

Другими словами, $sin x$ положителен, когда

$2 kπ < x < (2 k + 1) π k \in Z$

Пункт б)

$0 < ln x < 1$

Представим все части неравенства как показатели степени с основанием $e$ . Знаки неравенства не поменяются, так как $e > 0$ :

$e^{0} < e^{l n x} < e^{1}$

$0 < x < e$

Пункт в)

$0 < \frac{[ x ]}{x} < 1$

Сразу уточняем, что $x$ не может равняться $0$ .

Рассмотрим левую часть:

$0 < \frac{[ x ]}{x}$

Пусть $x > 0$ . Умножим обе части неравенства на $x$ :

$0 < [x]$

Замечаем, что $[0.2] = 0$ , $[0.99] = 0$ , поэтому любые числа из интервала $(0, 1)$ не подойдут для неравенства выше, поэтому:

$x \geq 1$

Пусть $x < 0$ . Умножим обе части неравенства на $x$ с переменой знака неравенства:

$0 > [x]$

Целая часть от любого отрицательного числа является отрицательным числом, поэтому

$x < 0$

А как же интверал

(- 1, 0)

Действительно, рассмотрим, например, чему равно $[- 0.5]$ :

$[- 0.5] = - 1 + 0.5 - 0.5 = - 1$

Поэтому целая часть любого отрицательного числа есть отрицательное число.

езюмируя левую часть неравенства, имеем:

$0 < \frac{[ x ]}{x} \Leftrightarrow [x \geq 1 x < 0$

Рассмотрим правую часть неравенства:

$\frac{[ x ]}{x} < 1$

Пусть $x > 0$ . Умножим обе части неравенства на $x$ :

$[x] < x$

Для положительных $x$ это неравенство всегда выполняется, кроме тех случаев, когда $x$ — целое число (в этих случаях оно обращается в равенство). Это можно выразить так:

$x > 0 и x \neq = k k \in N \cup {0}$

Пусть $x < 0$ . Умножим обе части неравенства на $x$ с переменой знака неравенства:

$[x] > x$

Никакой $x$ (в том числе никакой отрицательный) не удовлетворяет этому условию.

Почему?

Докажем, что для любого $x$ неравенство $[x] > x$ не выполняется. Пусть это не так и существует некоторое число $t$ такое, что:

$[t] > t$

Мы можем представить $t$ в виде:

$t = n + r,$

где $n$ — целое число и $0 \leq r < 1$ . Тогда, по определению функции целой части числа $[t] = n$ . Подставляем в неравенство:

$n > n + r r < 0$

Получаем противоречие: $r$ не может быть меньше $0$ . Значит, такое число $t$ не существует.

$■$

езюмируя правую часть неравенства, имеем:

$\frac{[ x ]}{x} < 1 \Leftrightarrow x > 0 и x \neq = k k \in N \cup {0}$

Итак, в результате исследования неравенства иммем два условия, которые должны выполняться одновременно:

$⎩ ⎨ ⎧ [x \geq 1 x < 0 x > 0 и x \neq = k k \in N \cup {0}$

Условие $x < 0$ сразу отбрасываем, так как оно приводит к противоречиям (см. выше). Остается:

${x \geq 1 x > 0 и x \neq = k k \in N \cup {0}$

Из-за первого условия в выражении выше из области определения выбрасываем интервал $(0, 1)$ .

Итог:

$x > 1 и x \neq = k k \in N$

202 204