Представим $f(x)$ в более удобном для преобразований виде:

$$f(x)=\frac{a^x}{2}+\frac{a^{-x}}{2}$$

Теперь рассмотрим по отдельности, чему равны $f(x+y)$ и $f(x-y)$:

$$f(x+y)=\frac{a^{x+y}}{2}+\frac{a^{-(x+y)}}{2}=\frac{a^x{a}^y}{2}+\frac{a^{-x}{a}^{-y}}{2}$$

$$f(x-y)=\frac{a^{x-y}}{2}+\frac{a^{-(x-y)}}{2}=\frac{a^x{a}^{-y}}{2}+\frac{a^{-x}{a}^y}{2}$$

Теперь из левой части доказываемого неравенства получим правую:

$$\begin{gathered} f(x+y)+f(x-y)= \\ =\frac{a^x{a}^y}{2}+\frac{a^{-x}{a}^{-y}}{2}+\frac{a^x{a}^{-y}}{2}+\frac{a^{-x}{a}^y}{2}= \\ =\frac{a^x{a}^y+a^x{a}^{-y}+a^{-x}{a}^{-y}+a^{-x}{a}^y}{2}= \\ =\frac{a^x(a^y+a^{-y})+a^{-x}(a^y+a^{-y})}{2}= \\ =\frac{(a^x+a^{-x})(a^y+a^{-y})}{2}= \\ =2\cdot \frac{a^x+a^{-x}}{2}\cdot \frac{a^y+a^{-y}}{2}= \\ =2f(x)f(y) \end{gathered}$$

Мы показали, что

$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$$

$■$