Задача 205 — Демидович

Указание

Пункт в)

Воспользуйтесь формулой тангенса суммы:

$tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β}$

Пункт г)

Воспользуйтесь свойством логарифмов:

$lo g a + lo g b = lo g a \cdot b$

Решение

Пункт а)

$a x + a y = a z$

Делим обе части равенства на $a$ :

$z = x + y$

Пункт б)

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$

Упростим левую часть равенства:

$\frac{x + y}{x y} = \frac{1}{z}$

Выразим $z$ :

$z = \frac{x y}{x + y}$

Пункт в)

$arct g x + arct g y = arct g z$

Возьмем тангенс от обеих частей равенства:

$tg (arct g x + arct g y) = tg (arct g z)$

$z = tg (arct g x + arct g y)$

Воспользуемся формулой тангенса суммы:

$z = \frac{tg arct g x + tg arct g y}{1 - tg arct g x \cdot tg arct g y}$

$z = \frac{x + y}{1 - x y}$

Пункт г)

$lo g \frac{1 + x}{1 - x} + lo g \frac{1 + y}{1 - y} = lo g \frac{1 + z}{1 - z}$

Воспользуемся формулой $lo g a + lo g b = lo g a \cdot b$ :

$lo g \frac{1 + x}{1 - x} \cdot \frac{1 + y}{1 - y} = lo g \frac{1 + z}{1 - z}$

Можем перейти к рассмотрению равенства аргументов:

$\frac{1 + x}{1 - x} \cdot \frac{1 + y}{1 - y} = \frac{1 + z}{1 - z}$

Обозначим временно всю левую часть за $C$ и изолируем $z$ :

$C = \frac{1 + z}{1 - z} C (1 - z) = 1 + z C - C z = 1 + z C - 1 = z + C z C - 1 = z (C + 1) z = \frac{C - 1}{C + 1}$

Возвращаем изначальное значение вместо $C$ и упрощаем:

$z = \frac{\frac{1 + x}{1 - x} \frac{1 + y}{1 - y} - 1}{\frac{1 + x}{1 - x} \frac{1 + y}{1 - y} + 1} = \frac{\frac{( 1 + x ) ( 1 + y ) - ( 1 - x ) ( 1 - y )}{( 1 - x ) ( 1 - y )}}{\frac{( 1 + x ) ( 1 + y ) + ( 1 - x ) ( 1 - y )}{( 1 - x ) ( 1 - y )}} = = \frac{1 + x + y + x y - 1 + y + x - x y}{1 + x + y + x y + 1 - x - y + x y} = = \frac{x + y}{1 + x y}$

$z = \frac{x + y}{1 + x y}$

204 206