Пункт 1

$$f\left(\frac{1}{x}\right)=x+\sqrt{1+x^2}(x>0)$$

Воспользуемся следующим свойством:

$$x=\frac{1}{\frac{1}{x}}$$

$$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}}$$

Проводим замену $\frac{1}{x}$ на $x$:

$$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$$

Но не забываем про наше ограничение на "новый" $x$. Для простоты будем обозначать "новый" $x$ за $t$:

$$t=\frac{1}{x}$$

Но на $x$ по условию наложено ограничение $x>0$. Тогда какое ограничение наложено на $t$? Выразим $x$ через $t$:

$$x=\frac{1}{t}$$

Раз $x>0$, то:

$$x=\frac{1}{t}>0$$

Видим, что неравенство выполняется для любых строго положительных $t$. Поэтому

$$t>0$$

Итоговый ответ:

$$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}(x>0)$$

Пункт 2

$$f\left(\frac{x}{x+1}\right)=x^2$$

Проведем следующие преобразования с $x^2$:

$$\begin{gathered} x^2={\left(x\cdot \frac{x+1}{x+1}\right)}^2={\left(\frac{x}{x+1}\cdot \frac{x+1}{1}\right)}^2= \\ ={\left(\frac{x}{x+1}\cdot \frac{1}{\frac{1}{x+1}}\right)}^2={\left(\frac{x}{x+1}\cdot \frac{1}{\frac{x+1-x}{x+1}}\right)}^2= \\ ={\left(\frac{x}{x+1}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}\right)}^2 \end{gathered}$$

Итак:

$$f\left(\frac{x}{x+1}\right)={\left(\frac{x}{x+1}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}\right)}^2$$

Проводим замену $\frac{x}{x+1}$ на $x$:

$$f(x)={\left(\frac{x}{1-x}\right)}^2$$