Рассмотрим два произвольных $x_1$ и $x_2$ из указанного в условии промежутка, такие, что $x_2>x_1$. Нам нужно доказать, что

$$\begin{gathered} f(x_2)>f(x_1) \\ \mathrm{tg}{x}_2>\mathrm{tg}{x}_1 \\ \mathrm{tg}{x}_2-\mathrm{tg}{x}_1>0 \\ \frac{\sin x_2}{\cos x_2}-\frac{\sin x_1}{\cos x_1}>0 \\ \frac{\sin x_2\cos x_1-\sin x_1\cos x_2}{\cos x_1\cos x_2}>0 \end{gathered}$$

В числителе получили выражение для синуса разности:

$$\frac{\sin (x_2-x_1)}{\cos x_1\cos x_2}>0$$

Функция косинуса по определению (как абсцисса угла) строго больше $0$ на интервале от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$. Поэтому знаменатель всегда строго больше $0$. Осталось разобраться с числителем:

$$\sin (x_2-x_1)>0$$

Выпишем, в каких границах лежат $x_2$ и $x_1$:

$$-\frac{\pi }{2}<x_2<\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}<x_1<\frac{\pi }{2}$$

Умножим второе неравенство на $-1$:

$$-\frac{\pi }{2}<x_2<\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}<-x_1<\frac{\pi }{2}$$

Сложим эти два неравенства:

$$-\pi <x_2-x_1<\pi$$

Но по условию $x_2>x_1$, то есть $x_2-x_1>0$, поэтому

$$0<x_2-x_1<\pi$$

Функция синуса по определению (как ордината угла) строго больше $0$ на интервале от $0$ до $\pi$. Поэтому числитель всегда строго больше $0$.

Итак, мы доказали, что

$$\frac{\sin (x_2-x_1)}{\cos x_1\cos x_2}>0$$

А значит и

$$f(x_2)>f(x_1)$$

$■$