Итак,

$$y=\frac{e^x-\frac{1}{e^x}}{2}$$

Обозначим $t=e^x$:

$$\begin{gathered} y=\frac{t-\frac{1}{t}}{2} \\ 2y=t-\frac{1}{t} \end{gathered}$$

Домножим обе части равенства на $t$:

$$\begin{gathered} 2yt=t^2-1 \\ {t}^2-2yt-1=0 \end{gathered}$$

Теперь корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$$t_1(y)=y+\sqrt{y^2+1}{t}_2(y)=y-\sqrt{y^2+1}$$

Переходим от $t$ обратно к $x$:

$$e^{x_1}=y+\sqrt{y^2+1}{e}^{x_2}=y-\sqrt{y^2+1}$$

Прологарифмируем равенства по основанию $e$:

$$x_1(y)=\ln \left(y+\sqrt{y^2+1}\right)x_2(y)=\ln \left(y-\sqrt{y^2+1}\right)$$

Прологарифмировав равенства, мы наложили ограничение на аргумент логарифма. По определению, он должен быть строго больше $0$.

Поэтому, для функции $x_1(y)$:

$$\begin{gathered} y+\sqrt{y^2+1}>0 \\ \sqrt{y^2+1}>-y \end{gathered}$$

При положительных $y$ неравенство выполняется всегда, так как слева имеем положительное число, а справа — отрицательное. При $0$ неравенство выполняется, так как $1>0$. При отрицательных $y$ обе части неравенства положительные, поэтому их можно возвести в квадрат:

$$\begin{gathered} y^2+1>y^2 \\ 1>0 \end{gathered}$$

Итак, функция $x_1(y)$ определена при любых $y$.

Для функции $x_2(y)$ имеем:

$$\begin{gathered} y-\sqrt{y^2+1}>0 \\ y>\sqrt{y^2+1} \end{gathered}$$

При отрицательных $y$ неравенство не выполняется, так как слева имеем отрицательное число, а справа — положительное. При $0$ неравенство не выполняется, так как $0>1$. При положительных $y$ обе части неравенства положительные, поэтому их можно возвести в квадрат:

$$\begin{gathered} y^2>y^2+1 \\ 0>1 \end{gathered}$$

Итак, нет таких $y$, чтобы функция $x_2(y)$ была определена.

Поэтому:

$$x=\varphi (y)=\ln \left(y+\sqrt{y^2+1}\right)(-\infty <y<+\infty )$$