Пусть $-\infty <x<1$, тогда:

$$\begin{gathered} y=x \\ x=y \end{gathered}$$

Теперь разберемся с ограничением на $y$. По условию:

$$-\infty <x<1$$

Подставим вместо $x$ его выражение через $y$:

$$1\le \sqrt{y}\le 4$$

Итак:

$$x=y(-\infty <y<1)$$

Пусть $1\le x\le 4$, тогда:

$$\begin{gathered} y=x^2 \\ |x|=\sqrt{y} \end{gathered}$$

Но $x$ в рассматриваемом промежутке всегда положительный, поэтому можно избавиться от модуля

$$x=\sqrt{y}$$

Теперь разберемся с ограничением на $y$. По условию:

$$1\le x\le 4$$

Подставим вместо $x$ его выражение через $y$:

$$1\le \sqrt{y}\le 4$$

Все части неравенства положительные, поэтому можно возвести все части в квадрат:

$$1\le y\le 16$$

Итак:

$$x=\sqrt{y}(1\le y\le 16)$$

Пусть $4<x<+\infty$, тогда:

$$y=2^x$$

Прологарифмируем обе части равенства по основанию $2$:

$$x={\log }_{2}y$$

Теперь разберемся с ограничением на $y$. По условию:

$$x>4$$

Подставим вместо $x$ его выражение через $y$:

$${\log }_{2}y>4$$

Представим обе части неравенства как показатели степени с основанием $2$:

$$\begin{gathered} 2^{{\log }_{2}y}>2^4 \\ y>16 \end{gathered}$$

Итак:

$$x={\log }_{2}y(y>16)$$

Объединяем все результаты в одну кусочно-заданную функцию:

$$x=\varphi (y)=\{\begin{array}{ll}y,& \text{если }-\infty <y<1;\\ \sqrt{y},& \text{если }1\le y\le 16;\\ {\log }_{2}y,& \text{если }16<y<+\infty \end{array}$$